Algebra 0-14 wyznaczniki

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład14
Wyznacznikmacierzycd.
Twierdzenie1
NiechAb¦dziemacierz¡kwadratow¡iniechA
i
,A
j
b¦d¡
dwiemaró»nymijejkolumnami,wtedydladowolnegok
2
K:
det[
A
1
,...,A
i
,...,A
j
,...,A
n
]=det[
A
1
,...,A
i
+
kA
j
,...,A
j
,...,A
n
]
Dowód
Udowodnili±my,»e:
det[
A
1
,...,A
i
+
kA
j
,...,A
j
,...,A
n
]=
det[
A
1
,...,A
i
,...,A
j
,...,A
n
]+det[
A
1
,...,kA
j
,...,A
j
,...,A
n
]
Ponadtodet[
A
1
,...,kA
j
,...,A
j
,...,A
n
]=0.
Twierdzenie2
Je±limacierzA
=[
a
ij
]
n
×
n
jestmacierz¡trójk¡tn¡to:
det
A
=
a
11
·
a
22
···
a
nn
Dowód
Je±li
6
=
i
towwyra»eniu
a
1
(1)
a
2
(2)
···
a
n
(
n
)
wyst¦pujeprzynaj-
mniejjednozero.Zatemdet(
A
)=
a
11
···
a
nn
.
Zadanie
Obliczy¢wyznacznikmacierzy:
2
6
6
6
4
12 3 4
23 1 2
11 1
−
1
10
−
2
−
6
3
7
7
7
5
Rozwi¡zanie
WTwierdzeniu1udowodnili±my,»ewyznacznikmacierzynie
zmieniasi¦gdydopewnegowierszamacierzydodamyinnypomno»onyprzez
stał¡.Mo»emywi¦cdodrugiegowierszadoda¢pierwszypomno»onyprzez
−
2:
r
2
−
2
r
1
=
1 2 3 4
0
−
1
−
5
−
6
1 1 1
−
1
1 0
−
2
−
6
r
3
−
r
1
=
1 2 3 4
0
−
1
−
5
−
6
0
−
1
−
2
−
5
1 0
−
2
−
6
r
4
−
r
1
1 2 3 4
0
−
1
−
5
−
6
0
−
1
−
2
−
5
0
−
2
−
5
−
10
r
3
−
r
2
r
4
−
2
r
2
=
1 2 3 4
0
−
1
−
5
−
6
0 0 3 1
0 0 5 2
r
4
−
2
r
3
1 2 3 4
0
−
1
−
5
−
6
0 0 3 1
0 0
−
1 0
r
4
r
3
1 2 3 4
0
−
1
−
5
−
6
0 0
−
1 0
0 0 3 1
1 2 3 4
0
−
1
−
5
−
6
0 0
−
1 0
0 0 0 1
r
4
+3
r
3
=
=1
1
12 3 4
23 1 2
11 1
−
1
10
−
2
−
6
=
=
=
Twierdzenie3
Je±limacierzkwadratowaAstopnianmaposta¢:
"
#
BC
0
D
A
=
gdzieBiDs¡macierzamikwadratowymistopnikin
−
k,a
0
jestmacierz¡
zerow¡wymiaru
(
n
−
k
)
×
k,to:
det
A
=(det
B
)
·
(det
D
)
Zadanie
Napodstawiepowy»szegotwierdzeniawyznacznik:
12345
21101
32121
00041
00022
jestrówny:
123
211
321
41
22
Twierdzenie4(Cauchy)
NiechAiBb¦d¡macierzamikwadratowymistop-
nianwtedy:
det(
A
·
B
)=det(
A
)det(
B
)
.
Zadanie
Udowodni¢,»eje±li
A
jestmacierz¡odwracaln¡todet
A
6
=0i
det(
A
−
1
)=
1
det
A
Rozwi¡zanie
Poniewa»
A
·
A
−
1
=
I
tomamydet(
A
·
A
−
1
)=det
I
=1.Z
twierdzeniaCauchy’egomamy:
1=det(
A
·
A
−
1
)=det(
A
)
·
det(
A
−
1
)
det
A
.
Rozwini¦ciewyznacznikawzgl¦demkolumny(wiersza)macierzy
Niech
A
=[
a
ij
]
n
×
n
b¦dziemacierz¡kwadratow¡,wtedyprzez
A
ij
ozna-
cza¢b¦dziemymacierzwymiaru(
n
−
1)
×
(
n
−
1)powstał¡zmacierzy
A
przezwykre±lenie
i
-tegowierszai
j
-tejkolumny.
Twierdzenie5(Laplace)
NiechAb¦dziemacierz¡stopnianwtedy:
det
A
=
a
1
j
(
−
1)
1+
j
det
A
1
j
+
a
2
j
(
−
1)
2+
j
det
A
2
j
+
···
+
a
nj
(
−
1)
n
+
j
det
A
nj
,
det
A
=
a
i
1
(
−
1)
i
+1
det
A
i
1
+
a
i
2
(
−
1)
i
+2
det
A
i
2
+
···
+
a
in
(
−
1)
i
+
n
det
A
in
.
2
zatemdet
A
6
=0iotrzymujemydet(
A
−
1
)=
1
 Pierwszyzpowy»szychwzorównazywamyrozwini¦ciemwyznacznikawzgl¦-
dem
j
-tejkolumny,adrugiwzgl¦dem
i
-tegowiersza.
Zadanie
Obliczy¢wyznacznik:
234
125
354
Rozwi¡zanie
Rozwiniemytenwyznacznikwzgl¦demdrugiegowiersza:
=1(
−
1)
2+1
34
54
+2(
−
1)
2+2
24
34
+5(
−
1)
2+3
23
35
Cz¦stowyznacznikiobliczasi¦ł¡cz¡cró»nemetody.Je±likorzystamyz
rozwini¦ciawyznacznikadobrzejestczasemwyzerowa¢niektóreelementyw
wierszu.
Zadanie
Obliczy¢wyznacznik:
1312
3451
2410
−
1421
Rozwi¡zanie
Mo»emynajpierwwyzerowa¢elementywpierwszejkolumnie
podpierwszymwierszem,anast¦pnierozwin¡¢wzgl¦dempierwszejkolumny:
1312
3451
2410
−
1421
w
2
−
3
w
1
w
3
−
2
w
1
w
4
+
w
1
=
1 3 1 2
0
−
5 2
−
5
0
−
2
−
1
−
4
0 7 3 3
=1(
−
1)
1+1
−
5 2
−
5
−
2
−
1
−
4
7 3 3
Niech
A
=[
a
ij
]
n
×
n
b¦dziemacierz¡kwadratow¡,wtedy
dopełnieniem
algebraicznymelementu
a
ij
nazywa¢b¦dziemyelement
b
ij
=(
−
1)
i
+
j
det
A
ij
,
amacierz:
2
b
11
b
12
...b
1
n
b
21
b
22
...b
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
n
1
b
n
2
...b
nn
3
A
D
=
6
6
6
6
4
7
7
7
7
5
Obliczmynast¦puj¡cyiloczyn
A
·
(
A
D
)
T
:
3
234
125
354
1.Iloczyn
i
-tegowierszai
i
-tejkolumnywynosi:
2
b
i
1
b
i
2
.
.
.
b
in
3
[
a
i
1
,a
i
2
,...,a
in
]
·
6
6
6
6
4
7
7
7
7
5
=
a
i
1
b
i
1
+
a
i
2
b
i
2
+
···
+
a
in
b
in
=
a
i
1
(
−
1)
i
+1
det
A
i
1
+
a
i
2
(
−
1)
i
+2
det
A
i
2
+
...
+
a
in
(
−
1)
i
+
n
det
A
in
=det
A
2.Iloczyn
i
-tegowierszai
j
-tejkolumnydla
i
6
=
j
wynosi:
[
a
i
1
,a
i
2
,...,a
in
]
·
2
6
6
6
6
4
b
j
1
b
j
2
.
.
.
b
jn
3
7
7
7
7
5
=
a
i
1
b
j
1
+
a
i
2
b
j
2
+
···
+
a
in
b
jn
=
a
i
1
(
−
1)
j
+1
det
A
j
1
+
a
j
2
(
−
1)
j
+2
det
A
j
2
+
...
+
a
in
(
−
1)
j
+
n
det
A
jn
=0
ostatniarówno±¢wynikazfaktu,»e
a
i
1
(
−
1)
j
+1
det
A
j
1
+
a
j
2
(
−
1)
j
+2
det
A
j
2
+
...
+
a
in
(
−
1)
j
+
n
det
A
jn
jestwyznacznikiemmacierzy,którapowstałazma-
cierzy
A
przezzast¡pienie
j
-tegowierszawierszem
i
-tym,wi¦cwyznacznik
tenjestrówny0.Zatemmamy:
2
3
det
A
0 0 0 0
0 det
A
0 0 0
0 0 det
A
0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0det
A
A
·
(
A
D
)
T
=
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
5
cooznacza,»eje±lidet
A
6
=0tomacierz
A
jestodwracalna.Udowodnili±my,
nast¦puj¡cetwierdzenie:
Twierdzenie6
MacierzkwadratowaAjestodwracalnewtedyitylkowtedy
gdy
det
A
6
=0
.
Konstrukcjamacierzyodwrotnej
Powtórzmyjeszczerazkonstrukcj¦macierzyodwrotnej.Je±li
A
=[
a
ij
]
n
×
n
jestmacierz¡kwadratow¡stopnia
n
tomamy:
det
A
(
A
D
)
T
gdzie
A
D
=[
b
ij
]
n
×
n
,
b
ij
=(
−
1)
i
+
j
det
A
ij
,macierz
A
ij
jestmacierz¡kwadra-
tow¡stopnia
n
−
1,którapowstałazmacierzy
A
przezwykre±lanie
i
-tego
wierszai
j
-tejkolumny.
4
A
−
1
=
1
Zadanie
Wyznaczy¢macierzodwrotn¡do:
2
0111
1011
1101
1110
3
6
6
6
4
7
7
7
5
Przekształceniaelementarnewierszymacierzy
Niech
A
b¦dziedowoln¡macierz¡owymiarze
m
×
n
owspółczynnikachz
pewnegociała
K
iniech
A
=[
a
ij
]
m
×
n
.
Przekształceniemelementarnym
wierszymacierzy
A
nazywamyjednozponi»szychprzekształce«:
(1)zamianadwóchwybranychwierszymacierzy,
(2)dodaniedowiersza
A
i
wiersza
kA
j
(dla
i
6
=
j
).
(3)pomno»eniewybranegowierszaprzezpewienelementniezerowyele-
mentciała
K
.
Mo»narównie»mówi¢oprzekształceniachelementarnychkolumnmacie-
rzy.
Wniosek1
Je±limacierzAjestkwadratowatopierwszezprzekształce«ele-
mentarnychzmieniatylkoznakwyznacznika,adrugieniezmieniawyznacz-
nikamacierzyA.
Macierz
A
=[
a
ij
]
m
×
n
nazywamy
macierz¡trapezow¡
je±li:
2
a
11
a
12
a
13
... ...a
1
n
0
a
22
a
23
... ...a
2
n
0 0
a
33
... ...a
3
n
0
...
0
a
kk
...a
kn
0
... ...
0
...
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
... ...
0
...
0
3
A
=
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
przyczymwierszeodpierwszegodo
k
-tegos¡niezerowe
Twierdzenie7
NiechAb¦dziemacierz¡wymiarum
×
n,wtedyprzypo-
mocyprzekształce«elementarnychmo»namacierzAsprowadzi¢dopewnej
macierzytrapezowej.
Dowód
Wdowodziewykorzystujemytzw
AlgorytmGaussa
Niech
A
=[
a
ij
]
m
×
n
b¦dziedowoln¡macierz¡.Je±li
a
11
6
=0tomo»naprzypo-
mocytegoelementuwyzerowa¢wszystkieelementyle»¡cepodnimwpierw-
szejkolumniewnast¦puj¡cysposób:
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]