Algebra 0-05 pierścienie

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład5
Liczby
a
i
b
nazywamy
wzgl¦dniepierwszymi
je±liNWD(
a,b
)=1.
Twierdzenie1
Liczbyaibs¡wzgl¦dniepierwszewtedyitylkowtedygdy
istniej¡liczbycałkowiteu,v,takie»eau
+
bv
=1
.
Twierdzenie2
Równaniea
·
n
x
=1
marozwi¡zaniewpier±cieniuZ
n
wtedy
itylkowtedygdyliczbyains¡wzgl¦dniepierwsze.Inaczejmówi¡cliczbaa
jestodwracalnawzgl¦dem
·
n
wtedyitylkowtedygdyliczbyains¡wzgl¦dnie
pierwsze.
Dowód
Je±liNWD(
a,n
)=1tozgodniezpowy»szymTwierdzeniemistniej¡
liczbycałkowite
u,v
takie,»e
au
+
bv
=1wtedystosuj¡cfunkcj¦
f
n
otrzy-
mujemy:
f
n
(
au
+
bv
)=
f
n
(1)=1,st¡d
f
n
(
a
)
·
n
f
n
(
u
)=1,awi¦cliczba
a
jestodwracalnamodulo
n
.Je±literazliczba
a
jestodwracalnamodulo
n
to
istnieje
b
,»e
a
·
n
b
=1i
a
·
b
−
1=0tooznacza,»e
n
|
(
ab
−
1),awi¦cistnieje
k
,»e
ab
−
1=
kn
,zatemrównanie
ax
+
ny
=1marozwi¡zanie,atooznacza,
»eliczby
a
i
n
s¡wzgl¦dniepierwsze.
Zadanie
Znale¹¢liczb¦odwrotn¡do15w
Z
37
.
Rozwi¡zanie
Poniewa»liczby15i37s¡wzgl¦dniepierwszetoliczba15
jestodwracalnaw
Z
37
.Musimyrozwi¡za¢równanie15
x
+37
y
=1,awi¦c
korzystamyzalgorytmuEuklidesa:
37=2
·
15+7
15=2
·
7+1
7=7
·
1+0
awi¦cmamy:1=15
−
2
·
7=15
−
2(37
−
2
·
15)=5
·
15
−
2
·
37.Tooznacza,
»eliczb¡odwrotn¡do15w
Z
37
jest5.
Element
x
2
R
nazywamy
dzielnikiemzera
je±li
x
6
=0iistnieje0
6
=
y
2
R
,
»e
x
y
=0.
Przykład
Pier±cie«(Z
,
+
,
·
)jestpier±cieniembezdzielnikówzera.Natomiast
wpier±cieniu(
Z
4
,
+
4
,
·
4
)element2jestdzielnikiem0.
Element
u
2
R
pier±cieniazjedno±ci¡nazywamy
elementemodwracal-
nym
je±lijestodwracalnywzgl¦dem
,awi¦c:
9
u
0
2
Ru
u
0
=
u
0
u
=1
.
Zbiórwszystkichelementówodwracalnychoznaczamyprzez
R
.
Przykład
Wpier±cieniu
Z
8
elementy1
,
3
,
5
,
7s¡odwracalne,bo3
·
8
3=1,
5
·
8
5=1,7
·
8
7=1.
Jakstwierdzili±mypowy»ej,wpier±cieniu
Z
n
,odwracalnes¡teelementy
a
dla,którychNWD(
a,n
)=1.
1
Twierdzenie3
Je±li
(
R,
,
)
jestpier±cieniemzjedno±ci¡to
(
R
,
)
jest
grup¡.
Pier±cie«(
R,
,
)przemiennyzjedno±ci¡nazywamy
ciałem
je±li
R
ma
conajmniejdwaelementyi
R
=
R
−{
0
}
,tzn.ka»dyniezerowyelementjest
odwracalny.
Przykłady
1.(Z
,
+
,
·
)niejestciałem,boZ
2.(R
,
+
,
·
)jestciałem,
3.(
Z
2
,
+
2
,
·
2
)jestciałem,
4.(
Z
4
,
+
4
,
·
4
)niejestciałem,bo
Z
4
=
{
1
,
3
}6
=
Z
4
−{
0
}
.
Twierdzenie4
Wcieleniemadzielnikówzera.
Dowód
Je±li
R
jestciałemi
a,b
2
R
s¡elementami,takimi»e
a
6
=0i
ab
=0
toistnieje
a
−
1
.Mno»¡crównanieobustronnieprzez
a
−
1
otrzymujemy:
a
−
1
ab
=0
St¡d
b
=0.
Niech
p
2
Z,mówimy,»e
p
jestliczb¡pierwsz¡je±li
p
jestpodzielnatylko
przez1iprzezsiebie.
Twierdzenie5
Je±linniejestliczb¡pierwsz¡toZ
n
niejestciałem.
Dowód
Je±li
n
niejestliczb¡pierwsz¡toistniej¡
k
6
=1
,l
6
=1,takie»e
n
=
kl
.Wtedy
k
jestdzielnikiemzerawpier±cieniu
Z
n
.
Twierdzenie6
Pier±cie«
(
Z
n
,
+
n
,
·
n
)
jestciałemwtedyitylkowtedygdyn
jestliczb¡pierwsz¡.
2
=
{
1
,
−
1
}
,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]