Algebra 0-01 pojęcia wstępne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład1
Poj¦ciawst¦pne
B¦dziemyu»ywa¢,nast¦puj¡cychoznacze«:
N=
{
0
,
1
,
2
,
3
,...
}
-zbiórliczbnaturalnych,N
=N
\{
0
}
,
Z=
{
...,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,...
}
-zbiórliczbcałkowitych,
Q-zbiórliczbwymiernych,
R-zbiórliczbrzeczywistych.
Wy»ejwymienionezbioryspełniaj¡nast¦puj¡cerelacje:
N
Z
Q
R
Iloczynemkartezja«skim
zbiorów
X
i
Y
nazywamyzbiórzło»onyze
wszystkichpar(
x,y
),takich»e
x
2
X,y
2
Y
.Iloczynkartezja«skizbiorów
X
i
Y
oznaczamyprzez
X
×
Y
.Mamywi¦c:
X
×
Y
=
{
(
x,y
):
x
2
X,y
2
Y
}
Ogólniejje±li
X
1
,X
2
,...,X
n
s¡dowolnymizbioramitoiloczynemkartezja«-
skim
X
1
×
X
2
×···×
X
n
nazywamyzbiór:
X
1
×
X
2
×···×
X
n
=
{
(
x
1
,x
2
,...,x
n
):
x
i
2
X
i
,
1
¬
i
¬
n
}
Je±li
X
jestzbioremtoprzyjmujemyoznaczenie:
X
n
=
X
×
X
×
···×
X
| {z }
n
Uwaga1
Je±liXiYs¡zbioramisko«czonymii
|
X
|
=
k,
|
Y
|
=
ltomamy
|
X
×
Y
|
=
kloraz
|
X
n
|
=
k
n
.
Odwzorowanie
f
zbioru
A
wzbiór
B
nazywamy
funkcj¡
je±lika»demu
elementowizbioru
A
przyporz¡dkowanyjestdokładniejedenelementzbioru
B
ipiszemysymbolicznie:
f
:
A
!
B
lub
A
f
!
B
Zbiór
A
nazywamydziedzin¡funkcji,azbiór
B
zbioremwarto±ci.Je±li
A
i
B
s¡dowolnymizbioramitoprzez
B
A
oznaczamyzbiórwszystkichfunkcji
przekształcaj¡cychzbiór
A
wzbiór
B
:
B
A
=
{
f
:
A
f
!
B
}
1
Przykład
Niech
X
=
{
1
,
2
}
.Wtedy
X
X
jestzbioremfunkcjiprzekształca-
j¡cych
X
w
X
.Zbiór
X
X
składasi¦znast¦puj¡cychfunkcji:
f
1
:
1
!
1
2
!
2
,f
2
:
1
!
2
2
!
1
,f
3
:
1
!
1
2
!
1
,f
4
:
1
!
2
2
!
2
.
Wprzypadkugdy
X
jestzbioremsko«czonym,składaj¡cymsi¦zelemen-
tów
x
1
,x
2
,...,x
n
,tofunkcj¦
f
2
X
X
mo»emyzapisa¢wpostaci:
x
1
x
2
... x
n
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
...f
(
x
n
)
!
Dla
X
=
{
1
,
2
}
mamy:
(
!
!
!
!)
12
12
12
21
12
11
12
22
X
X
=
f
1
=
,f
2
=
,f
3
=
,f
4
=
.
Je±li
X
jestdowolnymzbioremtoprzez2
X
oznaczamyrodzin¦wszystkich
podzbiorówzbioru
X
.Mamywi¦c
A
2
2
X
()
A
X
.
Przykład
Niech
X
=
{
1
,
2
,
3
}
.Wtedymamy
2
X
=
{
?
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
1
,
3
}
,
{
2
,
3
}
,
{
1
,
2
,
3
}}
.
Twierdzenie1
Je±liXjestzbioremsko«czonymi
|
X
|
=
nto
|
2
X
|
=2
n
.
Dowód
Zbiór
X
jestsko«czonyima
n
elementów,wi¦c
X
=
{
x
1
,x
2
,...,x
n
}
.
Ka»dypodzbiórwi¡»esi¦zwyborempewnychjegoelementów,awi¦cpew-
nychnumerów.Mo»emywi¦cokre±li¢odwzorowanie:
:2
X
!{
0
,
1
}
n
podzbiorówzbioru
X
wzbiórwszystkich
n
-elementowychci¡gówzero-jedyn-
kowych.Je±li
A
jestpodzbioremzbioru
X
toprzyporz¡dkowujemymuci¡g
(
a
1
,a
2
,...,a
n
)taki,»e
(
1je±li
x
i
2
A
0je±li
x
i
62
A.
a
i
=
Naprzykład:
;!
(0
,
0
,...,
0)
X
!
(1
,
1
,...,
1)
{
x
1
}!
(1
,
0
,...,
0)
Nietrudnozauwa»y¢,»eka»demupodzbiorowiodpowiadadokładniejeden
ci¡g,ró»nympodzbioromodpowiadaj¡ró»neci¡giika»dyci¡godpowiada
2
pewnemupodzbiorowi.Zatemelementówzbioru2
X
jestdokładnietylesamo
coelementówzbioru
{
0
,
1
}
n
,atychostatnichjest2
n
.
Przykład
Zilustrujmydziałaniefunkcji
,zdefiniowanejwdowodzietwier-
dzenianaprzykładziezbioru
X
=
{
1
,
2
,
3
}
:
:
; !
(0
,
0
,
0)
{
1
} !
(1
,
0
,
0)
{
2
} !
(0
,
1
,
0)
{
3
} !
(0
,
0
,
1)
{
1
,
2
}!
(1
,
1
,
0)
{
1
,
3
}!
(1
,
0
,
1)
{
2
,
3
}!
(0
,
1
,
1)
{
1
,
2
,
3
}!
(1
,
1
,
1)
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]