AlmaMaster - 07 Elementy płytowe

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
7. ELEMENTY PŁYTOWE
1
7.

7. ELEMENTY PŁYTOWE
Rys. 7.1. Element płytowy
Aby rozwiązać zadanie płytowe należy:
•
zdefiniować geometrię płyty,
•
dokonać podziału płyty na elementy,
•
zdefiniować węzły,
•
wprowadzić obciążenie,
•
ustalić więzy (warunki brzegowe),
•
wprowadzić odpowiednie funkcje kształtu
{
u
}=[
N
]⋅{
d
}
(7.1)
gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu,
•
zdefinować odkształcenia i naprężenia:
{}=[
B
]{
d
} {}=[
D
]{
B
}{
d
} (7.2)
•
zdefiniować macierz sztywności:
[
K
e
]=
∫
V
B
T
D B dv
(7.3)
(jest to macierz osobliwa),
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
7. ELEMENTY PŁYTOWE
2
•
dokonać transformacji macierzy sztywności (z układów lokalnych do układu globalnego)
[
K
e
G
]
[
K
e
]
(7.4)
•
zagragować macierz sztywności – zapewnia to nierozdzielność przemieszczeń węzłów:
A

K
e
G

[
K
]
(7.5)
gdzie A oznacza operator,
•
postawić problem jako równanie:
[
K
]{
D
}={
P
}
(7.6)
[K] – macierz sztywności, będąca na tym etapie nadal osobliwą,
•
wprowadzić warunki brzegowe,
•
rozwiązać równanie:
{
D
}=[
K
]
−
1
⋅{
P
}
(7.7)
w wyniku którego otrzymujemy szukane przemieszczenia,
•
przetransformować obliczone przemieszczenia do układów lokalnych,
•
odtworzyć interesujące nas stany odkształceń, naprężeń i przemieszczeń.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
7. ELEMENTY PŁYTOWE
3
7.1. Płyty cienkie
Płyta cienka to obiekt dwuwymiarowy, w którym wymiary w kierunku osi x i y są wielokrotnie
większe niż jego grubość.
z,w
y,v
x,u
t
2
dz
Q
x
z
M
x
M
x
y
x
t
2
dy
dx
Rys. 7.1. Płyta cienka
Załóżmy, że ugięcia występują w jednym kierunku i mamy dwa kąty obrotu:
tego kąta obrotu nie
uwzględniamy
ugięcie (pionowo w dół)
po kierunku z
z
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
7. ELEMENTY PŁYTOWE
4
Odkształcenia w płaszczyźnie warstwy płyty opisane są wzorami:
∂
x

y
=
∂
v
∂
y

x
=
∂
u
∂
y

∂
v
∂
x
(7.8)
Przemieszczenia dowolnego punktu:
u
=−
z
∂
w
∂
x
v
=−
z
∂
w
∂
y
(7.9)
gdzie
∂w
∂x
jest kątem obrotu. Po podstawieniu wzorów 7.9 do 7.8 otrzymujemy:
∂
x
2

y
=−
z
∂
2
w
∂
y
2

x
=−
2 z
∂
2
w
∂
x
∂
y
(7.10)
Zależność między naprężeniami a odkształceniami dla warstwy płyty jest taka sama jak dla płaskiego
stanu naprężenia, mamy więc:
{}=[
D
]{}
(7.11)
gdzie
D
=
E
1
−
2
[
1

0

1 0
0 1

]
, =
1
−
2
(7.12)
Wektor naprężeń uogólnionych odpowiada wartościom momentów zginających:
[
M
]
=
[
M
xx
M
yy
M
xy
]
T
(7.13)
Jeśli

x
=
E
1
−
2

x

y

(7.14)
to uogólnione naprężenie M
xx
wynika z całkowania wyrażenia
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater

x
=
∂
u

x
=−
z
∂
2
w
 7. ELEMENTY PŁYTOWE
5
t
2

x
⋅
z dz
=
E
1
−
2
12

∂
2
w
∂
x
2

∂
2
w
M
xx
=−
∫
−
2
∂
y
2

(7.15)
W podobny sposób uzyskujemy pozostałe składowe wektora uogólnionych naprężeń:
M
yy
=
E
1
−
2
12

∂
2
w
∂
y
2

∂
2
w
∂
x
2

(7.16)
M
xy
=
E t
3
12

1
−
2

∂
2
w
∂
x
∂
y
(7.17)
Wektor uogólnionych odkształceń będzie postaci:
[

]
=
[

xx

yy

xy
]
T
=
[
W
, xx
W
, yy
2W
, xy
]
T
(7.18)
Wówczas uogólniony operator D dla naprężeń i odkształceń wynosi:
D
=
D
t
3
12
(7.19)
A zatem otrzymujemy relację:
[
M
]
=
D
[

]
(7.20)
7.2. Rodzaje elementów płytowych
•
niedostosowany element prostokątny, zwany MZC (nie spełnia warunków ciągłości pochodnych na
brzegu elementu). Stopnie swobody są postaci:
[
w
i
∂
w
i
∂
y
−
∂
w
i
∂
x
]
T
[
d
i
]
=
(7.21)
Obciążenie węzłowe wynosi natomiast:
[
p
i
]
=
[
p
zi
M
xi
M
yi
]
T
, gdzie
i
=
1,... ,4
(7.22)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
t
3
t
3
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]