AlmaMaster - 03 Plaski stan naprezenia i odksztalcenia, Książki, ipad
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 1
3.
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora
=
{
x
,
y
,
xy
}
(3.1)
Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku:
y
yx
x
xy
x
xy
y
yx
y
x
Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń
Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt
zapisujemy:
x
,
=
x
cos
2
y
sin
2
2
xy
sincos
(3.2)
y
,
=
x
sin
2
y
cos
2
−2
xy
sincos
(3.3)
x' y'
=−
x
−
y
sincos
xy
cos
2
−sin
2
(3.4)
lub krócej w postaci macierzowej
'
=
T
(3.5)
gdzie wektory
'
i
opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych
obróconych i wyjściowych.
Macierz transformacji zapisujemy w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 2
T
=
[
c
2
s
2
2sc
s
2
c
2
−
2sc
−
sc sc c
2
−
s
2
]
(3.6)
Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy
wówczas
2
x
−
y
2
cos2
xy
sin2
(3.7)
2
−
x
−
y
2
cos2−
xy
sin2
(3.8)
x' y'
=−
x
−
y
2
sin2
xy
cos2
(3.9)
Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej
niezmiennikami, które zapiszemy następująco:
x
y
=
x'
y'
=
const.
(3.10)
x
y
−
x
2
=
x'
y'
−
x' y'
2
=
const.
(3.11)
Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć
ekstremum równania (3.7) względem kąta
. Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy:
tg
2
gł
=
2
xy
x
−
y
(3.12)
I ,II
=
x
y
x
−
y
2
2
2
±
x
2
(3.13)
Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt
/
4
w
stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą:
x
y
2
2
'
MAX
=
x
2
(3.14)
Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym
składowe odniesione do układu (x0y) w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
x
,
=
x
y
y
,
=
x
y
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3
=
{
x
y
xy
}
(3.15)
Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v,
odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci:
∂
x
y
=
∂
v
∂
y
xy
=
∂
u
∂
y
∂
v
∂
x
(3.16)
Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej:
v
∂
v
∂
u
∂
y
dy
∂
y
dy
dy
∂
u
∂
y
∂
v
∂
v
∂
x
∂
x
dx
y,v
v
u
∂
u
u
∂
x
dx
dx
x,u
Rys. 3.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego
W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco
=
Lu
(3.17)
gdzie wektor
u
=[
u,v
]
T
, natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu
dwuwymiarowego przyjmuje postać:
[
∂
∂
x
0
]
(3.18)
L
=
0
∂
∂
y
∂
∂
y
∂
∂
x
W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
x
=
∂
u
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 4
z
=0
xz
=0
(3.19)
yz
=0
Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru:
xz
=0
yz
=0
(3.20)
a wartość
z
≠0
Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco
E
x
−
y
y
=
1
(3.21)
E
y
−
x
xy
=
1
G
xy
=
2
1
E
xy
(3.22)
z
=−
E
x
y
lub w postaci relacji odwrotnej
1−
2
x
y
y
=
E
(3.23)
1−
2
y
x
xy
=
E
21
xy
=
E
1−
2
xy
(3.24)
gdzie
=
1 −
2
Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci
=
C
(3.25)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
x
=
1
x
=
E
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 5
gdzie
C
=
1
E
[
1
−
0
−
1 0
0 0 2
1
]
(3.26)
lub odwrotnie
=
D
(3.27)
gdzie
D
=
C
−
1
=
E
1
−
2
[
1
0
1 0
0 0
]
(3.28)
W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:
z
=0
xz
=0
yz
=0
xz
=0
yz
=0
(3.29)
natomiast
z
≠0
(3.30)
Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco
E
x
−
y
−
z
y
=
1
(3.31)
E
y
−
x
−
z
xy
=
2
1
E
xy
(3.32)
oraz
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
x
=
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]