AlgTeoEgz

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Teorianaegzaminzalgebryliniowej
Informatyka/Ekonometria.
12 grudnia 2011
Wszystkie podane poj¦cia nale»y umie¢ zdefiniowa¢ (ze zrozumieniem opisa¢, okre±li¢). Np. odpowia-
daj¡c na pytanie o tw. Cramera nale»y przedstawi¢ układ równa«, okre±li¢ macierze
A
,
A
x
,
A
y
i dopiero
wtedy poda¢ wzory. Nale»y równie» ilustrowa¢ (definicje, twierdzenia) odpowiednimi przykładami lub
kontrprzykładami. Ponadto nale»y zna¢ dowody zaznaczonych twierdze«.
1. Liczby zespolone.
(a) Płaszczyzna Gausssa, posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej.
(b) Pierwiastkowanie, pierwiastki z jedno±ci. Wzór de Moivre’a.
(c) Pierwiastki zespolone równania kwadratowego. Zasadnicze twierdzenie algebry.
2. Geometria przestrzeni euklidesowej
R
n
(a) Iloczyn skalarny. Definicja i własno±ci.
n
. Prostopadło±¢.
(b) Definicja k¡ta mi¦dzy wektorami w
R
3. Wyznaczniki i układy równa« Cramera.
(a) Definicja wyznacznika.
(b) Rozwini¦cia Laplace’a.
(c) Operacje (na wierszach i kolumnach) nie zmieniaj¡ce warto±ci wyznacznika.
(d) Twierdzenie Cramera.
4. Przestrze« liniowa.
(a) Definicje liniowej zala»no±ci i liniowej niezale»no±ci wektorów.
(b) Tw.
wektorys¡liniowoniezale»ne
()
jedenznichjestkombinacj¡liniow¡pozostałych
(dowód).
(c) Tw.
Cz¦±¢wspólnapodprzestrzenijestpodprzestrzeni¡
(dowód).
5. Baza przestrzeni
(a) Tw.
układwektorówjestbaz¡
()
ka»dywektorjestmajednoznacznyrozkład
(dowód).
(b) Tw.
Ka»dap-«posiadabaz¦.Tw.Ka»dedwiebazys¡równoliczne
. Wymiar. Tw.
Baza=mini-
malnyukładgeneratorów=maxymalnypodzbiórliniowoniezale»ny.
1
6. Macierz przej±cia.
(a) Definicja macierzy przej±cia.
(b) Zale»no±¢ miedzy macierzami przej±cia mi¦dzy trzema bazami.
7. Odwzorowanie liniowe.
(a) Definicja odwzorowania liniowego. Równowa»no±¢ z warunkiem
f
(
v
+
w
) =
f
(
v
) +
f
(
w
)
(dowód).
(b) Tw.
suma,zło»enieodzwzorowa«liniowychjestodwzorowaniemliniowym
(dowód).
(c) Tw. Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone przez swoje warto±ci na bazie (dowód).
(d) Definicja macierzy odwzorowania liniowego. Macierz zło»enia dwu odwzorowa« liniowych. Ma-
cierz odwzorowania odwrotnego.
(e) Definicja j¡dra odwzorowania liniowego. Tw.
Odwzorowanieliniowejestró»nowarto±ciowe
()
Ker(
f
) = 0 (dowód).
(f) Rz¡d odwzorowania liniowego. Tw. dimKer(
f
) + dim
f
(
V
) = dim
V
.
8. Warto±ci własne
(a) Warto±¢ własna, wektor własny, wielomian charakterystyczny.
(b) Tw.
wielomiancharakterystycznyniezale»yodwyborubazy
(dowód). Tw.
Ka»damacierzrze-
czywistaposiadawarto±¢własn¡zespolon¡
(dowód).
(c) Tw.
Jesliv
1
,...,v
n
s¡wektoramiwłasnymiodpowiadaj¡cymró»nymwarto±ciomwłasnymtos¡
oneliniowoniezale»ne
(dowód dla n=2).
(d) Macierz odwzorowania liniowego w bazie wektorów własnych.
9. Formy kwadratowe
(a) Forma kwadratowa Wyznaczanie postaci kanonicznej formy kwadratowej poprzez operacje ele-
mentarne na wierszach i kolumnach.
(b) Sygnatura i okre±lono±c formy. Kryterium Sylwestera.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]