Algebra z geometri¡ analitycznej ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wrocªaw, 25 wrze±nia 2003 r.
Algebra z geometri¡ analityczn¡ - MAP1015, MAP1016, MAP1017
Spis list zada«
1. Lista zerowa: Przykªadowe zadania szkolne.
2. Lista pierwsza: Podstawowe wªasno±ci liczb zespolonych.
3. Lista druga: Obliczanie pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej i rozkªad funkcji
wymiernej na sum¦ rzeczywistych uªamków prostych.
4. Lista trzecia: Podstawowe wªasno±ci macierzy i wyznaczników.
5. Lista czwarta: Macierze odwrotne, ukªady równa« liniowych i eliminacja Gaussa.
6. Lista pi¡ta: Dowolne ukªady równa« liniowych, twierdzenie Kroneckera-Capellego i wzo-
ry Cramera.
7. Lista szósta: Przestrze« wektorowa R
3
i pªaszczyzny.
8. Lista siódma: Proste w przestrzeni i krzywe drugiego stopnia na pªaszczy¹nie.
9. Lista ósma: Struktury algebraiczne - grupy.
10. Lista dziewi¡ta: Zastosowania algebry i geometrii analitycznej w technice.
11. Lista dziesi¡ta: Powtórka.
Uwaga. Niektóre z zada« s¡ zaczerpni¦te lub wzorowane na zadaniach z ni»ej podanych
ksi¡»ek. Przy niektórych z tych zada« cytuj¦ ksi¡»k¦ ¹ródªow¡.
Bibliograa
[1] H. Anton, Ch. Rorres, Elementary Linear Algebra. Applications Version, 6th Edition,
Wiley, New York 1991.
[2] M. Bry«ski, Elementy teorii grup, Zaj¦cia fakultatywne w grupie matematyczno-zycznej,
Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1975.
[3] O. Cuberbiller, Zadania i ¢wiczenia z geometrii analitycznej, PWN, Warszawa 1966.
[4] N. Dróbka, K. Szyma«ski, Zbiór zada« z matematyki dla klasy I i II liceum ogólnoksztaª-
c¡cego, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1977.
[5] N. Dróbka, K. Szyma«ski, Zbiór zada« z matematyki dla klasy III i IV liceum ogólno-
ksztaªc¡cego, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1973.
[6] D.K. Faddiejev, I.S. Sominskij, Zbornik zadac po wyzszej algebrie, Nauka, Moskwa 1968.
[7] M. Gewert, Zb. Skoczylas (red.), Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy, wyd. 5, GiS,
Wrocªaw 2001.
[8] H.D. Ikramov, Zadacznik po liniejnoj algebrie, Nauka, Moskwa 1975.
[9] W. Jankowski, J. Kaczmarski, Liczby zespolone i zmienne zespolone, Zaj¦cia Fakultatyw-
ne, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1974.
[10] T. Jurlewicz, Powtórka od A do Z z algebry liniowej 1, YUMA, Wrocªaw 1996.
1
[11] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Denicje, twierdzenia, wzory, wyd. 9, GIS,
Wrocªaw 2002.
[12] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra Liniowa 1. Przykªady i zadania, wyd. 7, GiS, Wrocªaw
2001.
[13] E. K¡cki, D. Sadowska, L. Siewierski, Geometria analityczna w zadaniach, PWN, War-
szawa 1993.
[14] J. Klukowski, I. Nabiaªek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 1999.
[15] A.I. Kostrikin (red.), Zadania z algebry, PWN, Warszawa 1995.
[16] I.W. Proskuriakov, Zbornik zadacz po liniejnoj algebrie, Nauka, Moskawa 1970.
[17] S. Przybyªo, A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zada-
niach, WNT, Warszawa 1998.
[18] J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.
[19] W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wy»szych uczelni technicznych, wyd. 11, PWN,
Warszawa 2001.
2
Lista zerowa
- przykªadowe zadania szkolne
Temat: Przypomnienie wybranych podstawowych poj¦¢ z programu matematyki w szkole.
Pomocnicza literatura do listy zerowej
1. D. i M. Zakrzewscy, Repetytorium z matematyki
dla uczniów szkóª ±rednich i kandydatów na
studia
, Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000.
2. R. Leitner, W. akowski, Matematyka dla kandydatów na wy»sze uczelnie techniczne, WNT,
Warszawa 1978.
Zadanie 0.1
Zapisa¢ nast¦puj¡ce trójmiany kwadratowe w postaci kanonicznej: x
2
+ 2x; 4x
2
4x1:
Zadanie 0.2
Zbada¢, czy mo»na rozªo»y¢ na czynniki liniowe rzeczywiste nast¦puj¡ce trójmiany kwa-
dratowe: x
2
2x24; x
2
mx2m
2
; x
2
7; 2x
2
x1; x
2
+ 2: Je±li tak, to
wyznaczy¢ ten rozkªad.
Zadanie 0.3
Poda¢ wzór skróconego mno»enia dla (a+b)
3
. Obliczy¢ (ab)(a
2
+ab+b
2
) i przedstawi¢
a
3
+ b
3
w postaci iloczynu odpowiednich wyra»e«. Wykorzysta¢ otrzymane wzory do
przedstawienia w postaci iloczynu nast¦puj¡cych wyra»e«: x
3
1; x
3
+ 8.
Zadanie 0.4
Upro±ci¢ wyra»enia wymierne (1 x
3
)=(3 + 3x + 3x
2
) i (2x
2
x)=(2x).
Zadanie 0.5
Wyprowadzi¢ wzory na sum¦ i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego (wzory
Viete'a). Wyró»niki ("delty")podanych wielomianów s¡ dodatnie. Obliczy¢ sum¦ i ilo-
czyn pierwiastków nast¦puj¡cych trójmianów (bez obliczania pierwiastków):
x
2
8x + 12; 3x
2
+ 5x + 2.
Zadanie 0.6
Niech d = a=(b
p
c
2
+ 1). Przeksztaªci¢ praw¡ stron¦ tak, by w mianowniku nie byªo
pierwiastka.
Zadanie 0.7
Niech dla 2 [0; 2]. Poda¢ warto±ci k¡ta , dla
(a) warto±ci sinusa
(i) s = 1=2,
(ii) s = 1=2,
(b) warto±ci cosinusa
(i) c = 1=2,
(ii) c = 1=2;
3
(c) jednocze±nie danych nast¦puj¡cych par warto±ci sinusa i cosinusa:
s = 1=2; c =
p
3=2; s = 1=2; c =
p
3=2:
Zadanie 0.8
Skorzysta¢ z nast¦puj¡cych to»samo±ci trygonometrycznych
cos ( + ) = cos cos sin sin ;
sin ( + ) = sin cos + cos sin
do obliczenia warto±ci sin (
4
+
3
) oraz do wyra»enia sin ( +
2
) i cos ( +
2
) za pomoc¡
sinusa i cosinusa k¡ta .
Zadanie 0.9
Dla jakich warto±ci parametru t pierwiastki równania x
2
+
t
x+t
2
= 0 s¡ równe sinusowi
i cosinusowi tego samego k¡ta ostrego?
Zadanie 0.10
Zapisa¢ w prostszej postaci wyra»enie
a
6
d
4
b
3
c
4
2
a
4
b
2
c
2
d
3
3
:
Zadanie 0.11
Wykona¢ pot¦gowanie (a
1=2
+ a
3=2
)
2
.
Zadanie 0.12
Wykona¢ dziaªania
3
2x + 6
x
2x
2
12x + 18
:
Zadanie 0.13
Znale¹¢ liczby a i b takie, by funkcje wymierne f(x) i g(x) byªy równe
f(x) =
a
x 1
+
b
x + 1
; g(x) =
5x 1
x
2
1
:
Zadanie 0.14
([1], str. 124) Niech a = [2;k];b = [3; 5]. Wyznaczy¢ warto±ci parametru k tak, by
(a) wektory a i b byªy równolegªe,
(b) wektory a i b byªy prostopadªe,
(c) k¡t mi¦dzy a i b byª równy =3.
Zadanie 0.15
Wyprowadzi¢ wzór na wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci trójk¡ta o wierzchoªkach
A(x
A
;y
A
); B(x
B
;y
B
); C(x
C
;y
C
);
wykonuj¡c dziaªania na odpowiednich wektorach.
4
p
3=2;
s = 1=2; c =
p
3=2; s = 1=2; c =
1
x 3
Zadanie 0.16
Dane s¡ punkty: A(1; 3); B(4; 7); C(2; 8); D(1; 4): Sprawdzi¢, »e s¡ one wierzchoªkami
równolegªoboku. Obliczy¢ pole tego równolegªoboku.
Zadanie 0.17
Wyznaczy¢ wspóªczynnik kierunkowy prostej przechodz¡cej przez punkty A(3;4) i
B(1; 0).
Zadanie 0.18
Napisa¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkt P(1; 1) i tworz¡cej k¡t =3 z do-
datnim kierunkiem osi Ox.
Zadanie 0.19
Wyznaczy¢ k¡t mi¦dzy prostymi y = x i y = x.
Zadanie 0.20
Sprawdzi¢, czy podane trójki punktów nale»¡ do tej samej prostej
(a) A(0; 5); B(2; 1); C(1; 7),
(b) A(2; 0); B(4;3); C(3;
3
).
Zadanie 0.21
Maj¡c dane równania prostych zawieraj¡cych dwa boki równolegªoboku: x 3y = 0 i
2x + 5y + 6 = 0, oraz wspóªrz¦dne jednego z wierzchoªków: C(4;1), napisa¢ równania
prostych zawieraj¡cych pozostaªe boki równolegªoboku.
Zadanie 0.22
Obliczy¢ odlegªo±¢ punktu A(4; 5) od prostej xy + 4 = 0, bez stosowania wzoru na
odlegªo±¢ punktu od prostej.
Zadanie 0.23
Rozwi¡za¢ ukªad równa« mx + (2m 1)y = 3m; x + my = m: Dla jakich warto±ci
parametru m rozwi¡zanie tego ukªadu jest par¡ liczb o ró»nych znakach?
Zadanie 0.24
Dla jakich warto±ci parametru m punkt przeci¦cia prostych 3x+ 4y = 5m7; x4y =
m + 3 nale»y do pierwszej ¢wiartki ukªadu wspóªrz¦dnych?
Zadanie 0.25
Dla jakich warto±ci parametru m proste (3m + 2)x + (14m)y + 8 = 0; (5m2)x +
(m + 4)y 7 = 0 s¡ prostopadªe (równolegªe)?
Zadanie 0.26
Dane s¡ proste o równaniach y = x + m + 1; y = 2x2m: Dla jakich warto±ci m punkt
5
przeci¦cia prostych nale»y do wn¦trza koªa o promieniu
p
5 i ±rodku w pocz¡tku ukªadu
wspóªrz¦dnych?
[ Pobierz całość w formacie PDF ]