Algebra-teoria

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
A
B
PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE
Def.
Strukturą liniową zbioru
X
(
X =
) nad ciałem
K
nazywamy układ dwóch odwzorowań: 1)
X
x
X

(x, y)

x + y 
X
– wynik dodawania w
X
; 2)
K
x
X
 (, x)

x 
X
– mnożenie elementów przez
skalary ciała.
PL1.
(
X
, +) – jest grupą abelową (przemienną)
PL2.
( + ) x =  x +  x |  (x + y) =  x +  y |  ( x) = ( ) x | 1x = x
Def
. Parę uporządkowaną (
X,
), gdy  jest strukturą liniową w X nad K, nazywamy
przestrzenią
liniową
nad ciałem K.
Def.
Jeżeli
X
0
jest niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej
X
, to pary (
X
0
,
) nazywamy
podprzestrzenią liniową
przestrzeni liniowej X.
Lemat
(elementarne własności przestrzeni liniowej):
1) 
x
0
x
=
x
0 = 0 | 0
x
1
+(
x
1
+ x
2
) = (0
x
1
+
1
x
1
) +
x
2
= (0 + 1)
x
1
+ x
2
=
1
x
1
+
x
2
=
x
1
+
x
2
| podobnie
x
1
0
+ (
x
1
+ x
2
) =
x
1
+ x
2

x +
0
= x
2) 
x =
0


=
0 lub
x =
0
3) – 
(
x + y
) = -
x -

y
| 
(
x - y
) = 
x -

y
przez system algebraiczny rozumiemy:
(
X
, ),
X
– zbiór niepusty, :
X
n

X
(n 
Z
+
) – dane odwzorowanie, zwane n-argumentowym
działaniem w
X
. (n=0 – wyróżniamy element x

X
; n = 1 – działanie jedno arg.; n = 2 – działanie
binarne).
(
X
, ),  działanie binarne –
grupoid
Def.
Grupoid nazywamy
półgrupą
, jeżeli  jest działaniem łącznym, tzn.
     
z
x
y
,
z
x
,
y
,
z

x
,
y
,

X
z
yx
,
,
,
,

   
x
x
y


y
nazywamy
przemiennym
. (Np.
(
N
, ) (x,y) = x
y
nie jest przemienne)
Def.
(X, ) – grupoid: element
e
o własności
   
x

e
xx



,

e
,
x
nazywamy
elementem
jednostkowym
działania .
Lemat:
Element jednostkowy, jeżeli istnieje, to jest jedyny.
J:
e


   
   
e
x
,
e



e

,
x

x
(
podst.
x

e

)


Układy elementarne w przestrzeni liniowej
Układy skończone:
X
– przestrzeń liniowa nad
K
,
x
1
, ... , x
n

X
.
Def.
Każdy element postaci
x =

1
x
1
+ ... +

n
x
n

i

K
nazywamy
kombinacją liniową
(o
współczynnikach 
1
, ...,

n
) rozpiętą na układzie skończonym.
Def.
Układ skończony nazywamy:
1)
liniowo niezależnym
, jeżeli 
1
x
1
+ ... +

n
x
n
= 0


1
= ... =

n
=
0.
2)
liniowo zależnym
, gdy nie jest niezależnym, więc istnieją niezerowe współczynniki 
1
, ...,

n
, że 
1
x
1
+ ... +

n
x
n
= 0
Tw.
Układ {e

|   A} jest liniowo niezależny, jeżeli każdy jego podukład skończony jest liniowo
niezależny.
Def.
Jeżeli
E
= {e

|   A} jest układem elementów przestrzeni liniowych
X
nad
K
, to zbiór
span
E
jest
zbiorem wszystkich kombinacji liniowych rozpiętych na układzie E.
element jednostkowy: lewy (
e
l
)
e
l
x = x
, prawy (
e
p
)
x e
p
= x
. Jeśli istnieje
e
p
i
e
l
, to
e
p
= e
l
= e
.
notacja: addytywna

e  1; multiplikatywna

e  0.
Def.
Półgrupę (
X
, ) z jednością o własności:
   

e

e


x
,
e



e

,
x

x
(
podst.
x

e

)

x
X
X





x
,
x



x

,
x

e
x


element
odwrotny
nazywamy
grupą.
Lemat:
Element
x’
jest jedyny.
Bezpośrednia definicja grupy
Grupa to system algebraiczny (
X
, ) z jedynym działaniem binarnym , przy czym spełnione są żądania:
G1.
Działanie  jest łączne:
x
span

E

x





e
. span
E
     

x
(
yz
)

(
xy
)
z
jest podprzestrzenią
X
(powłoka liniowa rozpięta na zbiorze E).
Tw.
(podstawowe)
X
przestrzeń liniowa nad
K
. Jeżeli B
0
jest zbiorem liniowo niezależnym w
X
, to
istnieje maksymalny zbiór liniowo niezależny B  B
0
Def.
Bazą
przestrzeni liniowej
X
nazywamy każdy maksymalny podzbiór liniowo niezależny B.
Wn.
Każda przestrzeń liniowa
X
nad
K
ma bazę.
Wn.
Jeżeli przestrzeń liniowa X ma bazę
 

x
,
y
,
z

X

x
,

y
,
z


x
,
y
,
z



x

(
y

z
)

(
x

y
)

z
G2.
   


1
x

1

x

e

x

e
,
x


x
,
e

x


B


to 
x
X
zachodzi jednoznaczna reprezentacja

0

x

x

0

x
x E e

 

Komentarz:
Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeżeli istnieje bijekcja f:AB. Piszemy wtedy A~B
mówiąc, że zbiory A i B są równoliczne.
Postulat
: Jeżeli A jest zbiorem, to odpowiada jemu (?) przedmiot card A 
X
A nazywamy
liczbą
kardynalną
zb. A. Przy tym: dwa zb. A, B mają tą samą liczbę kardynalną wyłącznie wtedy, gdy są
równoliczne, a więc card A= card B A~B Np. A={1,...,n} B={1,...,m}, A~B  m=n
Tw.
W przestrzeni liniowej dowolne dwie bazy są równoliczne [B
1
,B
2
- bazy w X, to card B
1
= card B
2
]
Def.
Wymiarem przestrzeni liniowej
X nad ciałem K nazywamy moc bazy tej przestrzeni: dim X = card
B | B - baza w X ( card
k
B) Np. dim
R
n
=n ; dim
Q
R
=
Tw.
Przestrzeń liniowa X nad K jest skończenie wymierna jeżeli dim X = n (n
Z
+
) - przestrzeń n-
wymiarowa





1
G3.
   

xx

x
x

1
x

x
element
odwrotny

x
,
x



x

,
x

e



x

x


x


x

0
x

element
przeciwyny
Lemat:
Półgrupa (
X
, ) jest grupa wtedy i tylko wtedy, gdy: 1)
x
x
ex



(
,
)
2)

 )
,(
Fakt:
Jeżeli (
G
, ) jest grupą, to dla każdego
a, b

G
równanie: (a, x) = b | (x, a) = b ma jedno
rozwiązanie
J:
(a, x) = b. Przypuśćmy, że rozwiązanie x istnieje to a

a
-1
(a
-1
, (a, x) = ((a
-1
, a), x) =
(e, x) = x, prawa strona równania: (a
-1
, b), stąd: x = (a
-1
, b). x = (a
-1
, b) spełnia równanie: (a, x) =
b: (a, (a
-1
, b)) = ((a, a
-1
), b) = (e, b) = b
Uwaga:
 =
G
0

G
– nazywamy podgrupą, jeżeli
G
0
jest podzbiorem zamkniętym ze względu na
działanie grup.
x
xx




x
e
MACIERZE
S - zb. niepusty, m.,n 1.
Macierzą
typu mn nad S nazywamy układem mn elementowy zbiór
Pierścień:
To system algebraiczny z wyróżnionym układem dwóch działań binarnych (
R
, +, ) przy
czym: 1) (
R
, +) jest grupą przemienną ( gr. Abelowa); 2) (
R
, ) jest półgrupą ( łączne); 3)
rozdzielność działania  względem działania +, tzn.


a a a
11
12
...
1
n



x
,
y
,
z
x
(
y

z
)

xy

xz

(
y

z
)
x

yx

zx
uporządkowany w m - wierszach, n - kolumnach
 
A

a



...


a S

in
m n
ik

Jeśli działanie  przemienne – pierścień przemienny. Jeśli działanie  ma element jednostkowy –
pierścień z jednością.
a a a
...

m m mn
1
2

Ciało:
(
K
, +, )  (
K
, +, , 0, 1), przy czym: 1) (
K
, +, ) jest pierścieniem z jednością; 2) (
K
\ {0}
, +, 1)
jest grupą

1
...
0


a
...
... ...
0





11
 





1
,...,
1
Np.
I


...
...


diag
-
macierz jednostkowa

diaga a
11
, ... ,
nn
-
macierz
Przestrzeń liniowa:
0
1

0
a
nn

diagonalna
 

X
Uwaga: (  * - notacja muliplikatywna,   + - notacja addytywna).
Def.
Działanie binarne  o własności:
,

x
2
A
B
DZIALANIA:
Fakt
Jeżeli
 
f LXY
 ,
to
X
f
if
dim
dim
dim
ker


(wymiar jądra + wymiar obrazu = wymiar


 
 

AB
A
  
  
a b
a
i ik
   
dziedziny)
Równania liniowe
   
y
x
Jeżeli
A
,
B
są macierzami tego samego typu (nad K,R), to *
A B
 
a b
Zbiór
ik ik

równanie liniowe
jednorodney
niejednorodney



,

0
 
f

L
X
,
Y
(

)
f


ik
,

0
Mat
m

k
(K) w macierzy typu mn nad K jest przestrzenią linową w sensie działania *






Równania (*) jest niejednorodne 
y im

 
f x x f
  
0
ker
...
...
...












Mnożenie macierzy:
...
a b c
ij
...
...
jk
...

...
ik
...
Na ogół mnożenie macierzy nie
Lemat.
Jeżeli
 

...


...


...

f LXY
 , , to:
1 każde równanie jednorodne
 
f x
 0 ma postać:
x f
m l

l n

m n

jest przemienne !
Właściwości
1 łączność (
AB
)
C
=
A
(
BC
)
2 rozdzielność
A
(
B
+
C
)=
AB
+
AC
3 (
A
)=( )
A
; (+)
A
=
A
+
A
Jeżeli
 
   
ker
 
B e
0


- baza jądra
x e



 

2 Jeżeli
f
im
y
 , to każde rozwiązanie równania
 
f x y

x x x
S
 
0
, gdy
x f
0
ker x
s
-
dowolne rozwiązanie szczególne równania
 
f x

   
A A A macierz transponowana
Jeżeli
A
t
=
A
macierz symetryczna
;
A
t
= -
A macierz skośnie symetryczna
Jeżeli
 
 
 
Mat K a a
m n
t
 

ki
n m
ik
m n


  
inf
Niech x będzie jakimkolwiek rozwiązaniem r.
 
f x

t
macierz sprzężona
(Hemite’a do
A
)
A
*
=
A
-
macierz
K Mat a a
m

C CA A
,
;
  

ki
ik
 
   
f x x f x f s
    0
x x f
 ker
Lemat
(Tw. o interpolacji odwzorowań liniowych) X,Y p. liniowe nad K,
 
samosprzężona
 Hemite’a
Jeżeli
A
*
A
=
I
, to
A
nazywamy
macierzą unitarną
Własności:
 
AB A B
  
B e
A



- baza X, każde
t t t
;
 

A A
t

;
 
AB A B
  
  
;
 

A A


;
 
AB BA
t t


~ ~~
:  
Tw.
(o izomorfizmie) Jeżeli X,Y - p. liniowe nad K, to równoważne są warunki: 1 XY (X izomorficzne
z Y) 2 dim X = dim Y Np.
k k n m
n
  
 

Def.
Algebra X nad ciałem K, to sup.(?) algebra (X,,), gdzie 1 (X,) - przestrzeń liniowa nad ciałem
K; 2 (X,+,) - pierścień; 3 x(y)=xy;
Jeżeli  
x y
xy yx
,
odwzorowanie
fB Y
:  ma jednoznaczne przedłużenie liniowe
f X Y f f
B
przemienne. Jeżeli    
e x
ex xe x
| e - element jednostkowy
dim
K m n
Mat K mn

 
 
a aE aE
ik
m n
 

  
11 11
...
 
E
ik pq pq

 
,




1
0
,
p iq k
 
,
WYZNACZNIKI
mn nm
, ...

a a
...

11
1
n




Odwzorowanie liniowe f: XY ; X,Y p. liniowe nad K 1
     
A

 
 
A A a
, .. ,
2

ik
n m

...
...

Mat K
n
 
f x x f x f x
1
2 1 2
   addytywne ; 2

a a
...

m nm
1

f x f x
 

   
jednorodne; nazywamy
liniowym
Def.
Odwzorowanie
 
det:
Mat K K
n
 o własnościach:
Def
1 detA jest f. liniową (swoich kolumn)

LXY
, zbiór wszystkich odwzorowań linowych f z X do Y jest p. liniową
 
     
 
   
 
~
~



 






det ,...,
A A A A A A A A
k k n

, ...,
det , ..., ,... ,
det ... ,
, ...


1
1
k n
k


f g x f x gx
f x f x
  

 

f g LXY
,

,
det , ... , , ..., det , ..., , ... ,
A A A A A A
k
n


 



 
1
1
k n
Def
2 ...
A
są identyczne to
A
=0
Def
3
 
det   
1 1
e
nazywamy wyznacznikiem na
A
Def
4 Jeżeli macierz
A
ma kolumny zerowe, to det
A
=0
Def
5 Jeżeli
B
powstaje z
A
przez przestawienie dwóch kolumn, to det
A
= - det
B
Def
6 Jeżeli  jest permutacją zb (1,...,n) to
   
 
Y XLXX LX
 
, ,
f: XY jest linowe, f - forma liniowa na X
L(X,K)X
*
-
przestrzeń dualna
(sprzężona dla X)
Def.
Jeżeli
 
f LXY
 ,
, to
ker
f x XAx
 

 
 0 - kernel f ;
 
 
imf f x Yx X
   - obraz f


Def
7 Jeżeli dwie kolumny macierzy
A
są identyczne lub proporcjonalne, to det
A
=0
Def
8 Wyznaczniki macierzy nie zmieniają się, gdy do ustalonej kolumny dodać inną kolumnę
pomnożoną przez skalar
det



, ... , sgn det
A A A
n


1

Ćw.
ker f jest podprzestrzenią X , im f jest podprzestrzenią Y
Uwaga
Jeżeli , liczba kardynalne, to przez sumę + rozumiemy moc sumy zbiorów rozłącznych
mocy , odpowiednio

     
zbAmocy A B cardA B
. ,

 
 

zbBmocyB
. ,
y f x y
s s
S
;
 
AB BA
1
 
 
 3
A
B
Def
9 Funkcja det( ) o własnościach D1-3 jest jedyną i ma postać
det
A






a a
n
S
n
sgn
   
,...,

x


y

1



1




1


AB A

Def
11 Wyznaczniki macierzy danej i transponowanej jest ten sam det
X x
  
y Ax
 
A
x Y

x
n


y
n

de
A

t
sprawdzamy, że T(.) jest odwzorowaniem liniowym z X do Y. Jest ono bijekcją. Zatem T jest
izomorfizmem p. lin.
 
 
Def




l k mn
min , k - kolumna
 
 
T
A

A
m n
TA
TA


A
A
1
1
     
minor macierzy A:
m=n Dopełnienie algebraiczne elementów
a
ik

A M
ik
ii k
TAA TATA


AA
X Y



macierz odwrotna
 
1
gdzie
M
ik
to
1 2
1
2
1 2
ik
A

1

A

1
2
2
minor macierzy
A
, dopełnienie algebraiczne
a
ik
Def
12 (
Tw. Laplace’a
)

1
Zbiór wszystkich odwzorowań
AX X
:  , nieosobliwych, jest grupą pod względem składania


det ,
,
A
l i

odwzorowań
AB I B A
  
1
Jeżeli
A,B
macierze mają własności
AB I B A
1 1
aA aA
in
  
...
i l
ln
  
1


0
l i

BA I B A
  
1

2
1 1
aA aA
k l nk al
  
...


det ,
,
A
l k

   
   

1

 
1
AB BA

1

 
1
1
0
l k

Macierzowa reprezentacja odwzorowań liniowych w przestrzeniach skończenie wymiernych
X – przestrzeń liniowa K, dim X=n | baza X,
 


1
1


1
1
A A

A A

e e e
n

1
, ... ,
Def.
Macierz
A
d
– dostawiona do
A: A
d
=[a
ik
]
t
(macierz transponowana do macierzy dopełnień
algebraicznych elementów a
ik
)
Stwierdzamy, że
X x xe y x x K
i i
 

1
n
 
 
, .. ,

n
i
q n

x
1


a
...
a


A
...
A


d et
A
...
0





11
1
n
11
1
n
 












n
AA
d
=
K y x x
 
, ... ,

...
...
...
...
...
...
...
...
d et
A
...
= det
A
*
I
q n






x
a
...
a
A
...
A
0
...
d et
A

n

n
1
nn
n
1
nn
Niech
 
Xe
, - p. linowa n-wymiarowa , o bazie
 
e e e
n

1
, ... ,
;
 
Y f
,
- p. linowa m.-wymiarowa, o
Skąd:
A
(1/det
A
*
A
d
)=
I
->
A
-1
=(1/det
A
)
A
d
Def.
X,Y – przestrzenie liniowe nad K, n,m wymiarowe, odpowiednio |
e
f
L(X,Y)A
A
Mat
m

n
(K)
Rząd przekształcenia liniowego A: r(A)=def= dim im A (liczba liniowo niezależnych el. obrazu), r(
A
)=
r(A): T(A)=
A
Własności:
(1)
Jeżeli A jest nieosobliwe to r(A)=n (Y=X)
(2)
r(
A
)= liczba lin niezależnych kolumn (wierszy), najwyższy stopień minora różny od zera
Def.
Przekształcenia elementarne macierzy:
I rodzaju: (na wierszach). mnożenie wybranego wiersza przez  0, przestawienie dwóch wierszy, do
ustalonego wiersza dodanie liniowej kombinacji pozostałych
II rodzaju (na kolumnach) (to samo)
Lemat.
Każde przekształcenie elementarne: 1) I-rodz
A

A
’=
PA
, gdzie
P
jest macierzą nieosobliwą ; 2)
II rodz
A

A
’ =
AQ,
gdzie
Q
jest macierzą nieosobliwą
Zastosowanie przekształceń elementarnych:
1 wyższego rzędu macierzy
2 obliczanie determinantów
Tw.
(Kronecker – Capelli) Rozważmy układ m równań o n niewiadomych
bazie
 
f f f
n

1
, ... ,
Mat K
m n

 
- p.. liniowa wszystkich macierzy typu mn
LXY
, - zb. wszystkich odwzorowań liniowych z X do Y
Tw.
Przestrzenie
 
 
LXY
, oraz
 
Mat K
m n

są izomorficzne w szczególności: algebry
 
LX
oraz
Mat K
n
są izomorficzne
J
:
 
A LXY x X

 
,
x xe
j j
j
n


1
 



n

 

n
 



n
m

 

m


Ax A xe xAe x af ax f
j j
 
 



a
ij
- jednoznacznie
j j
j
ij i
ij j i
j

1
j

1
j

i

1
i

1
określony element ciała K

b
...
1

x
...
1


a
x

...

x
x

b

1
1
1
n
1
1




dany wektor w K
m
x=





n

(*)=

w którym a
ik
K (
C,R,...
), b=
- kolumna


ax

a a
...


x


x





a
x

...

x
x

b
j

1
1
j j


11
1
n




1




1






1
m
1
mn
n
m
n
b
x
f

...

...
 
:
A
notacja kolumnowa
x x
n
n
a x
a a
...
x
x
niewiadomych (K
m
)
mn prostokątny ukł liniowy,
m=n kwadratowy ,,, , ,,
b0 układ niejednorodny
b=0 ukł jednorodny

j

1
mj j


m mn n
1




n

A
T

A
-jednoznaczne odwzorowanie
 
Def
10 (Cauchy)
det det det





AB BA
1
1

4
A
B
b
...
1


x
...
1


a
11


a
12
...
a
1
n











(*) 
A
x=b :
A
=[a
ik
]
mn
b=
x=

A
1
x
1
+ . .. . +
A
n
x
n
=b ,
A
j
- to j-ta kolumna macierzy
A
a
a


...
...
 det (
A
-
I
)=
21
22
= p
n
() wielomian stopnia n-tego nad K


n
b
x
...
...
...
...
n


Tw.
(Kronecker – Capelli) Układ (*) jest niesprzeczny  jeżeli r(
A
)=r(
A
b
), gdzie
A
b
to macierz
utworzona z macierzy
A
przez dołączenie kolumny wyrazów wolnych. ( r() – rząd macierzy)
Dowód:
Układ (*) jest niesprzeczny  istnieją el x
1
... x
n
w K, że ich kombinacja liniowa z el bazy daje
element br(
A)
=r(
A
b
)
Wn
(1)
Układ jednorodny jest niesprzeczny
A
x=0
(2)
Jednorodny układ kwadratowy równań lin
A
x=0 (m=n) jest niesprzeczny. Liczba k liniowo
niezależnych rozwiązań: K=n-r | r=r(
A
) |
A
=A |
A
x=0 Ax=0 | dim ker A (=k) + dim im A
(r=r(
A
)) = n | k+r=n | k =n-r
(3)
Układ jednorodny
A
x=0 (m=n) ma rozwiązanie niezerowe  n>r det
A
=0 (tzn
A
– macierz
osobliwa)
Jeżeli r=r(
A
)=n to k=0 układ ma jedyne rozwiązanie zerowe
Uwaga:
f:L(X,Y) | f(x)=y – niesprzeczny  yim f , którego każde rozwiązanie x: x=x
0
+x
s
|
x
0
ker f , x
s
-dowolnie dobrane rozwiązania równań jednorodnych (f(x
s
)=n)
Jeżeli ker f ma bazę B
0
, to ker f  x = x

e

W danym ukł (*)
A
x=y | Ax=y | x
0
,Ax
0
=0 | x
s
= 
1
e
1
+ ... + 
k
e
k
Np.: x
1
+ 2x
2
+ ... nx
n
=1 | X=K
n
| x=
1
e
1
+ ... + 
n
e
n
| f:K
n
K | f(x)= x
1
+ 2x
2
+ ... + nx
n
|
A
=
[1,2, ... , n]

a
n
1
...
...
a
nn



p
n
()=(-1)
n

n
+p
1

n-1
+ ... + p
n-1
+p
n
Ale K jest algebrą zamknięta (n1), zatem istnieje K, że równanie
(*) ma rozwiązanie niezerwe w K
n
Def.
Wielomian p
n
()det (
A
-
I
) nad (jest?) wielomianem charakterystycznym.
Wn.
(1) -warość własna
A
| którekolwiek rozwiązanie p
n
()=0 
1
, ... ,
n

1
, ... ,
n
(krotności 
1
, ...
,
k
1 | 
1
+ ... +
k
= n)
(2)
-wartośc własna
A
, to odpowiada jej k=n-r (r=r(
A
-
I
)) liniowo niezal. Wektorów własnych.
X- n wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem K: Zapis (X,e) znaczy: w X wyraz e, n-wym bazą e: e
1
, ...
e
n
(
Uwaga:
baza to zawsze zbiór niepusty)
X bazy e: e
1
, ... e
n
lub bazy e’: e’
1
, ... e’
n
 jednakowe odwzorowanie macierzy
P
=[p
ik
]Mat
n
(K), że

e
'

p
11
e
1

...

p
n
1
e
n

e
'
1


e
...
1











...
...
....
tzn.
...
=
P
-t
, krótko: e’=
P
t
e

e
'
n

p
1
n
e
1

...

p
nn
e
n
e
'
n
n
e
x
...
1

zwana macierzą przejścia (w X) z bazy e do bazy e’
Własności:
(1)
Macierz przejścia
P
transformuje bazę e na bazę e’ poprzez swoje kolumny
(2)
Macierz przejścia
P
jest nieosobliwa: det
P
 0
(3)
Jeżeli
P
jest macierzą przejścia z bazy e do bazy f oraz
Q
jest m. przej. z f do b. G, to
PQ
jest m.
Przej. z b. e do b. g
P
(X,e) (X,f)
PQ Q
(X,g)




x=
| (
A
x=1)  x
1
= 1 – (2x
2
+ ... + nx
n
), x
2
, ... , x
n
K

x
n

r(
A
)=1 | r(
A
b
) =1

1

(
2
x
2

...

nx
n
)




2


0

x
...









1




x
0
0
0
x=
=
2
=
+x
2
+ ... + x
n








...
0
0
0
x
n









x
n


0


0



n

k+1=n | k=n-1
Tw.
(Cramer) Jeżeli maciezrz
A
Mat
n
(K) jest nieosobliwe, to układ kwadratowy równań liniowych (*)
f=
P
t
e, g=
Q
t
f  g=
Q
t
(
P
t
e) = (
Q
t
P
t
)e=(
QP
)
t
e
(4)
Jeżeli
P
macierz przejścia z bazy e do bazy f, to
P
-1
jest macierzą przejścia z b. f do b. e
P
(X,e) (X,f)
I Q
(X,e)

a
x

...

a
x

b


/


11
1
n
1
1
1
1




A
x=b, tzn
.......
...
ma jedyne rozwiązanie postaci x=

...

, gdzie = det
A
, 
1
- to

a
1
n
x
1

...

a
nn
x

b
n


n


determinant macierzy utworzonej z
A
przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych
Dowod:
A
A | Ax= b | A-nieosobliwe | A
-1
|
A
-1
| Ax=b | (A
-1
A)x=A
-1
b  x=A
-1
b  x=
A
-
P
*
Q
=
I

Q
=
P
-1

A
...
A


b








11
n
1
1
1
1

e
...


e
'

1




1




b |
A
-1
=(1/)[
A
ik
] | x=(1/)[
A
ki
]b=
1
1
...
...
...
...
=
....
=
...
















(*)
P
t
e=e’ | e=


| e’=
...
A
...
A
b








1
n
nn


n


n


n

n
e
n
e
'
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE
K- ciało algebraiczne nie zamknięte (tzn. każdy wielomian stopnia >0 nad K ma przynajmniej jedno zero,
C
(o.k.),
Z
p
(nie),
R
(nie – x
2
+1=0),
A
=[a
ik
]Mat
n
(K) – dana macierz
Def.
Jeżeli istnieje wektor niezerowy  (w K
n
), że przy pewnym K będzie:
A
x=x (Ax=x), to
mówimy, że x jest
wektorem własnym
macierzy
A
, odpowiadającym
wartości własnej
. A(x,)
Tw.
Każda macierz
A
=[a
ik
]
m

n
nad ciałem alg. zamkniętym ma wartości własne oraz wektor własny.
Dowód:
,x – to wartość własna i wektor własny macierzy
A
 jest x0 oraz K | Gdy spełnione
jest równanie
A
x=x  (
A
-
I
)x=0  jest ukł. kwadratowych równań jednorodnych
Wyznaczenie macierzy przejścia redukuje się do rozwiązania równania macierzowego
(*) e
t
P
= (e’)
t
X- n wymiarowa przestrzeń z dwiema bazami e, e’
Xx | x =


n
n
n
n
n
=


=
 

n
i
i
ik
k
e
p


=


n
 


n
k
k

x
k
e
x
k
e
'
'
x
'



k
ik
e
x
' =



ik
e
x
'
k
k
i
i
1
i

1
1
k
1
k
1
k
1
k
1
i
1

x

p
x

...

p
x
'

x
...


x
'

1
11
1
1
n
n
1
1





...
, tzn.
=
P
...
| x=
P
x’ | x’=
P
-1
x





x

p
x
'

...

p
x
'
x
x
'
n
1
n
1
nn
n

n


n


1

1

/
n
/
1
/
p
p
'
5
A
B
Zależność macierzy przestrzeni lin przy zmianie bazy. Rozważmy diagram przemienny:
*
*
*
*
*
(Ax )*


x
||
x
A


x
|
x
A


x
/
x
A
A
(
x
*
A
)
x


x
*
x
(X,e)
(Y,f)
(X,e)
(X,e)
2
2
2
x
*
A


(
x

x

...

x
)
1
2
n
A
A
x
*
(
A
x
)

x
*

x

(
x
2

...

x
2

1
n

P

Q

P

P
2
2
2
2
(
x

...

x
)



(
x

...

x
)
1
n
1
n
A
A



(X,e’) (Y,f’)
(X,e’) (X,e’)
M – unitarne

U
*
U=I
(
UU
*
=
I

U
*
=U
-1
)
B
B
u

2
r
 
co s

sin


np:
w którym
X,Y – przestrzenie liniowe skończenie wymiarowe n, m
A
: XY, dane przekształcenie lin o macierzy
A
 - automorfizm (X,e’) na (X,e) o macierzy
P
(przejścia z e do e’)
 - automorfizm (X,f’) na (X,f) o macierzy
Q
(przejściaz f do d’)
B
macierz operatora A w bazie e’,f’
U





sin

co s

Fakt 2.
widmo macierzy unitarnej jest zawarte w
S:
U
*
U=I =>
 (
A
)
S
Dowód:
,x – wart. , wektor własny macierzy
U
 

x
1





2
2
*
*
*
*
U
x


x
|
x
U


x
|
x
x

x
,...,
x
.....

x

...

x

0
1
n
1
n
Mamy, że
Dla diagramu (1) | Ax=B, tj. A=
-1
A 
Dla diagramów (2) | A  = B, tj. B=
-1
A 
(1)
B
=
Q
-1
AP
(2)
B=P
-1
AP

x
n

*
*
*
(
x
U
)
U
x


x
x
2
2
2
2
x
*
x


x
*
x
x
*
x
(


)

0


1



0




1
Fakt 3
(Gershgorin, 1931) Jeżeli
A=
[a
in
]  Mat
n
(), to  (
A
)  
i
n
=1
D
i
gdzie: D
i
={=
C:
| - a
ii
| =<

n
}, (koło Gershgorin)
Def.
W Mat
n
(K): Macierz
A
jest podobna do macierzy
B
jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
S: B=S
-1
AS
A więc podobieństwo macierzy oznacza, że są określone na tej samej przestrzeni liniowej, lecz różnych
bazach.
Drobiazgi
(a)
Rel. ~podobieństwa macierzy jest równoważnością w Mat
n
(K): A~A | S= |
A~B =>B~A: | B=B
-
1
AS

A=SAS
-1
=
(S
-1
)
-1
B(S
-1
) |
A~B & B ~C | B=S
-1
AS | C=

-1
B

=

-1
(
S
-1
AS)

=(ST)
-1
AS

(b)
Jeżeli
A~B,
to p
A
()=p
B
()
-macierze podobne mają równe wielomiany charakterystyczne
Dowód:
B=S
-1
AS |
p
B
()=det (
B-
  )=det(
S
-1
AS
-  )=det
S
-1
(
A
- )
S
=p
A
()det
S
-1
=p
A
()
Def. ślad macierzy:
tr
A
= a
11
+...+a
nn
Fakt:
(
1
)
tr
AB =
tr
BA |
jeżeli
A~B
, to trA=trB | (
B=S
-1
AS,
tr
B=
tr
S
-1
AS=
tr
A
)
(2) Jeżeli K jest ciałem algebraicznym, zamkniętym to: tr
A
=
n
+...+
n
(3) Jeżeli K jest algebraicznym zamkniętym, to det
A
= 
1
.... 
n
A
Mat
n
() (
A
)=
zbieżność wszystkich wartości własnych macierzy
A
(
widmo
)
n


1
i


a
ik
k
k
i

a
11
....
...
...



....
....
....
...


.
D:| -a
ii
| =< | suma modułów wiersza bez elementów przekątnej

....
...
a
ii
...


...
....
....
a
nn





n
i=1
D
n
TW. Caley-Hamilton
A 
Mat
n
(K), f

P
n
[

]
– wielomian nad ciałe K.
f(x)=a
0
+a
1

+ ....+ a
n

n
DEF
wielomian od macieży f(A)=a
0
I+a
1
A+.....
TW (Caley -Hamilton)
Wielomian charakterystyczny p
n
( )=p()=det(
A-
  ) macieży
A
, zerują tą
macierz. p(
A
)=0
Dowód:
p()=p
o
+p
1
 +.....+p
n

n
| ( p
n
=det
A
p
n
=(-1)
n
) | (p
n
I+
p
1
A+....+
p
n
x
A
n
=0) |
B
 Mat
n
(K),
to : (*)
BB
D
=(det
B
)
I |
Równość typu (*) to  - macierzy |
B=A
-
I
(**) (A-

I)(A-

I)
0
=det(
A-

I
)
I
 p()
I
Istnieją jednoznacznie określone macierze.
C
0
,
C
1
,.....,
C
n-1
W Mat
n
(K) że: (
A-

I
)
D
=
C
0
+
C
1
+......+
C
n-1

n-1
wykonanie działania w (**) daje:
A

A

i
a

A
*
=
A
=>  (
A
) 
R |
Uwaga: U
*
U = I |
 (
A
) 
S
Fakt. 1
Widmo macierzy Hermite’a jest zawarte w
R’ A
*
=
A =>
 (
A
)
R
Tw.
jeżeli
A
jest macierzą rzeczywistą w
A
*
=
A
,to
A
*
=
A=>
 ((
A
)
R
)
Dowód: A
x
=
 x ( -wartości własne x0 – wektor własny)
)

[ Pobierz całość w formacie PDF ]