Algebra III

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przekształcenialiniowe
Zadania
1. Które z nast¦puj¡cych przekształce« s¡ liniowe?
(a) T:R
2
!R
2
; T(x
1
;x
2
)=(2x
1
; x
1
x
2
);
(b) T:R
2
!R
2
; T(x
1
;x
2
)=(4x
1
+3x
2
; x
2
1
);
2
!R; T(x
1
;x
2
)=j4x
1
+3x
2
j;
(d) T:R
3
!R; T(x
1
;x
2
;x
3
)=2x
1
x
2
+3x
3
;
(e) T:R
3
!R
2
; T(x
1
;x
2;
x
3
)=(2x
3
; x
1
+4x
2
x
3
);
(f) T:R
3
!R
2
; T(x
1
;x
2;
x
3
)=(2x
3
; x
1
+);
(g) T:R
4
!R
3
; T(x
1
;x
2
;x
3
;x
4
)=(2x
1
; x
1
x
2
+3x
3;
x
2
4x
4
);
(h) T:R
3
!R
3
; T(x
1
;x
2
;x
3
)=(4x
1
+3x
2
; x
2
1
; x
2
4x
3
);
(i) T:R
6
!R
6
; T(x
1
;x
2
;x
3
;x
4;
x
5;
x
6
)=(0;2x
1
x
2
+3x
3
;x
2
4x
5
;0; x
1
+x
3
;0):
2. Zbada¢ liniowo±¢ przekształcenia
T
a b
b a
=a+b, a;b 2R.
3. Zbada¢ liniowo±¢ podanych przekształce«:
(a) T:R
3
!R
3
; T jest rzutem prostok¡tnym na płaszczyzn¦ x0y;
(b) T:R
2
!R
2
; T jest rzutem prostok¡tnym na prost¡ o równaniu x+y=0;
(c) T:R
2
!R
2
; T jest obrotem o k¡t
4
wokół punktu(0;0):
(d) T:R
2
!R
2
; T jest przesuni¦ciem o wektor v=[4;2]:
4. Wykaza¢, »e ka»de przekształcenie liniowe przekształca układ wektorów liniowo
zale»nych w układ wektorów liniowo zale»nych. Czy prawdziwe jest analogi-
cznie sformułowanie twierdzenie dla wektorów liniowo niezale»nych?
Obrazij¡droprzekształcenialiniowego
5. Znale¹¢ baz¦ i wymiar j¡dra oraz baz¦ i wymiar obrazu przekształcenia linio-
wego T:R
4
!R
4
; danego wzorem
T(x;y;z;t)=(x+y+z+2t; xy+z+6t; x+yz4t;2x+2y2z):
1
(c) T:R
6. Wyznaczy¢ baz¦ j¡dra i baz¦ obrazu przekształcenia liniowego T :R
4
!R
3
danego wzorem
T(x;y;z;t)=(x+2z+t; 2x+y3z5t; xy+z+4t):
7. Wyznaczy¢ j¡dro, obraz i rz¡d przekształcenia liniowego T:M
22
!P
2
danego
wzorem
a b
c d
T
=(2a+bc+3d)+(a+3c+d)x+(2b+c)x
2
;
gdzie M
22
oznacza przestrze« liniow¡ macierzy stopnia2, aP
2
oznacza
przestrze« wielomianów stopnia n:
8. Wyznaczy¢ j¡dro, rz¡d i obraz przekształcenia liniowego T : P
3
! M
22
danego wzorem T:(ax
3
+bx
2
+cx+d)=
a2c 2ab2d
b+2d cd
:
3
b¦dzie przekształceniem liniowym, które dowolnemu
wektorowi(x
1
;x
2
;x
3
;x
4
)2R
4
!R
4
przypisuje wektor (x
1
+x
2
; x
1
x
2
;2x
3
):
Znale¹¢ baz¦ j¡dra i rz¡d przekształcenia T:
10. Sprawdzi¢, czy wektory(1;1;1;1);(1;1;1;3)generuj¡ j¡dro przekształce-
nia liniowego T:R
4
!R
4
danego wzorem
T(x;y;z;u)=(x+y+3z+u; 2xy4zu; y+2z+u; x+2y+3z):
11. Sprawdzi¢, czy wektory(1;1;2;0;1);(2;0;0;1;1)generuj¡ j¡dro przekształ-
cenia liniowego T:R
5
!R
4
danego wzorem
T(x;y;z;u;v)=(x2y+u+v; xy+z+2v;3x4y+2z+u+5v; x3yz+2u):
12. Znale¹¢ dwie ró»ne bazy obrazu przekształcenia liniowego T:R
5
!R
4
danego
wzorem
T(x;y;z;u;v)=(x+yz; x+2y+3zu;3y+2zuv;2v):
3
takiego, »e T(1;1;1;1)=
(0;2;1), T(1;0;1;0)=(1;1;2)oraz KerT=f(x;0;0;t);x;t 2Rg.
4
!R
2
9. Niech T :R
13. Napisa¢ wzór przekształcenia liniowego T:R
Reprezentacjamacierzowaprzekształcenialiniowego
14. Napisa¢ macierze podanych przekształce« w bazach standardowych rozwa»anych
przestrzeni liniowych:
(a) T:R
3
!R
3
; T(x;y;z)=(2x+yz; x5z; y+4z);
(b) T:R
2
!R
3
; T(x;y)=(x+2y; xy; y);
(c) T:R
3
!R
2
; T(x;y;z)=(2x+yz; x5z);
(d) T:R
2
!R
2
; T(x;y)=(2x+4y;5x3y):
15. Przekształcenia liniowe L
1
:R
2
!R
2
; L
2
:R
2
!R
2
; L
3
:R
2
!Rokre±lone s¡
wzorami:
L
1
(x;y)=(6x2y; x3y);
L
2
(x;y)=(2xy; x);
L
3
(x;y)=4x+y:
Napisa¢ macierze tych przekształce« w bazach standardowych odpowiednich
przestrzeni oraz poda¢ macierze nast¦puj¡cych przekształce« liniowych (w odpowied-
nich bazach standardowych):
(a)3L
1
; (b) L
1
+L
2
; (c) 3L
1
4L
2
; (d) L
3
(L
1
+L
2
):
16. Przekształcenia liniowe L
1
:R
2
!R
3
; L
2
:R
3
!R
2
; L
3
:R
2
!Rokre±lone s¡
wzorami:
L
1
(x;y)=(x+2y;3x4y;x+y);
L
2
(x;y;z)=(yz; x+y+z);
L
3
(x;y)=5x2y:
Napisa¢ macierze tych przekształce« w bazach standardowych odpowiednich
przestrzeni oraz poda¢ wzory nast¦puj¡cych przekształce« liniowych:
(a) L
2
L
1
; (b) L
3
L
2
; (c) L
1
L
2
L
3
:
17. Spo±ród przekształce« liniowych wybra¢ przekształcenia odwracalne i napisa¢
macierze przekształce« odwrotnych do nich w bazach standardowych rozwa»anych
przestrzeni liniowych. Ponadto napisa¢ wzory przekształce« odwrotnych, je»eli:
(a) L:R
2
!R
2
; L(x;y)=(xy;2x+y);
(b) L:R
2
!R
2
; L(x;y)=(xy;2x2y);
(c) L:R
3
!R
3
; L(x;y;z)=(xy+z;2x+y; yz);
(d) L:R
3
!R
3
; L(x;y;z)=(xy+z;2x+y;3x+z):
18. Sprawdzi¢, czy istnieje przekształcenie odwrotne do przekształcenia liniowego
T:M
22
!R
4
okre±lonego wzorem
T[a
ij
]
i;j=1;2
=(a
11
+a
12
+a
21
; a
11
a
12
; a
21
;a
21
a
22
):
3
Przykłady
19. Pokaza¢, »e przekształcenie T:R
2
!R
2
; postaci T(x;y)=(x+4y; x6y)
jest przekształceniem liniowym.
Rozwi¡zanie
Sprawdzimy najpierwaddytywno±¢przekształcenia T. Niech v=(x
1
;y
1
), w=
(x
2
;y
2
)2R
2
:
Obliczmy
T(v+w)=T((x
1
;y
1
)+(x
2
;y
2
))=T(x
1
+x
2
;y
1
+y
2
)=
=(x
1
+x
2
+4(y
1
+y
2
); x
1
+x
2
6(y
1
+y
2
))=
=((x
1
+4y
1
)+(x
2
+4y
2
);(x
1
6y
1
)+(x
2
6y
2
))=
=(x
1
+4y
1
; x
1
6y
1
)+(x
2
+4y
2
; x
2
6y
2
))=
=T(x
1
;y
1
)+T(x
2
;y
2
)=
=T(v)+T(w):
Zatem T(v+w)=T(v)+T(w), a wi¦c T jest przekształceniem addytywnym.
Sprawdzimy terazjednorodno±¢przekształcenia T. Niech a 2R:
Obliczmy
T(av)=T(a(x
1
;y
1
))=T(ax
1
;ay
1
)=(ax
1
+4ay
1
; ax
1
6ay
1
)=
=a(x
1
+4y
1
; x
1
6y
1
)=aT(x
1
;y
1
)=aT(v)
Zatem T(av)=aT(v); co oznacza, »e T jest przekształceniem jednorodnym.
Skoro T jest przekształceniem addytywnym i jednorodnym, to jest przeksz-
tałceniem liniowym.
20. Wyznaczy¢ baz¦ j¡dra i baz¦ obrazu przekształcenia liniowego T :R
4
!R
3
danego wzorem
T(x;y;z;t)=(x+2y+z+t; x+y2z2t;0):
Poda¢ wymiary j¡dra i obrazu tego przekształcenia.
Rozwi¡zanie
Wyznaczymy najpierw baz¦j¡draprzekształcenia T:
Z definicji j¡dra wynika, »e nale»¡ do niego te wektory przestrzeniR
4
, których
współrz¦dne spełniaj¡ układ równa«
x+2y+z+t=0;
x+y2z2t=0:
Przyjmuj¡c y=, t=; otrzymujemy x=5; z=3: Zatem dowolny
wektor nale»¡cy do j¡dra ma posta¢(5; ;3; ): Wektor ten mo»na
przedstawi¢ w postaci
(5; ;3; )=(5;1;3;0)+(0;0;1;1):
4
Z definicji bazy wynika, »e układ((5;1;3;0);(0;0;1;1))stanowi baz¦ j¡dra,
a z definicji wymiaru wynika, »e wymiar j¡dra jest równy 2. Poniewa» wymiar
dziedziny przekształcenia liniowego jest równy sumie wymiarów j¡dra i obrazu,
to wymiar obrazu naszego przekształcenia jest równy 2.
Wyznaczymy teraz baz¦ obrazuprzeksztalcenia T:
Oznaczmy T(x;y;z;t)=(y
1
; y
2
;y
3
): Wtedy
(y
1
; y
2
;y
3
)=(x+2y+z+t; x+y2z2t;0)=
=x(1;1;0)+y(2;1;0)+z(1;2;0)+t(1;2;0)=
=x(1;1;0)+y(2;1;0)+(z+t)(1;2;0):
Wyznacznik
110
2 10
120
utworzony z wektorów(1;1;0);(2;1;0);(1;2;0)
jest równy0: Widzimy wi¦c, »e te trzy wektory s¡ liniowo zale»ne i w zwi¡zku
z tym nie mog¡ stanowi¢ bazy. Liniowo niezale»ne s¡ np. wektory(1;1;0);
(2;1;0): Zatem układ((1;1;0);(2;1;0))stanowi baz¦ obrazu naszego przekształce-
nia, gdy» wektory(1;1;0);(2;1;0)stanowi¡ uklad liniowo niezale»ny generu-
j¡cy obraz.
21. Przekształcenia liniowe L
1
:R
3
!R
3
; L
2
:R
3
!R
3
okre±lone s¡ wzorami:
L
1
(x;y)=(x2yz; x3y+z; yz);
L
2
(x;y)=(2x4y; x+z; x+y+z):
Znale¹¢ macierze tych przekształce« w bazach standardowych odpowiednich
przestrzeni oraz poda¢ macierze nast¦puj¡cych przekształce« liniowych (w odpowied-
nich bazach standardowych tych przestrzeni):
(a)5L
1
; (b) L
1
L
2
; (c) 3L
1
+2L
2
:
Rozwi¡zanie
Macierze przekształce« L
1
L
2
w bazach standardowych przestrzeniR
3
maj¡
odpowiednio posta¢
2
121
13 1
0 11
3
2
240
101
111
3
L
1
:
4
5
; L
2
:
4
5
:
Macierz przeksztalcenia5L
1
w bazach standardowych ma posta¢
2
3
2
3
121
13 1
0 11
5105
515 5
0 55
5
4
5
5
=
4
5
:
Macierz przekształcenia L
1
L
2
w bazach standardowych ma posta¢
2
121
13 1
0 11
3
2
240
101
111
3
2
361
23 0
1 02
3
4
5
4
5
=
4
5
:
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]