algebra-definicje

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
GRUPA
{G, *} ∀
a,b
∈
G a
∗
b
∈
G
(G - zbiór, * - działanie łączne w G spełniające poniższe warunki)
1. Istnieje element neutralny
∃
e
∈
G
∀
a
∈
G a
∗
e
=
e
∗
a
=
a
2. Każdy element G posiada element odwrotny/przeciwny
∀
a
∈
G
∃
b
∈
G a
∗
b
=
b
∗
a
=
e
3. Działania * na zbiorze G są łączne
∀
a,b,c
∈
G a
∗
b
∗
c
=
a
∗
b
∗
c
Jeżeli występuje przemienność działań to grupa jest
abelowa (przemienna)
∀
a,b
∈
G a
∗
b
=
b
∗
a
CIAŁO
{F, +,
.
}
(F - zbiór, działania wewnętrzne „+” - dodawanie
i „
.”
- mnożenie, spełniające poniższe warunki)
1. {F,+} jest grupą abelową (przemienną)
2. {F\{0},
.
} jest grupą abelową (przemienną)
3.
∀
a,b,c
∈
F a
⋅
b

c
=
ab

ac
(prawo
rozdzielności mnożenia względem dodawania)
W ciele zachodzą następujące warunki:
∀
a,b
∈
F
1.1≠0
2. 0⋅
a
=
a
⋅0=0
3.−1⋅
a
=−
a
4. jeżeli
ab
=0, to
a
=0 lub
b
=0
5. jeżeli
a
≠0 i
b
≠0, to 
ab

−1
=
b
−1
a
−1
LICZBY ZESPOLONE
(a) Postać kanoniczna
z
=
x

iy
(b) Postać sprzężona

z
=
x
−
iy
(c) Postać trygonometryczna
z
=∣
z
∣
x
∣
z
∣

i
y
∣
z
∣
=∣
z
∣cos
i
sin
(d) Wzory:

z
=∣
z
∣cos−
i
sin−
z
1
⋅
z
2
=∣
z
1
∣⋅∣
z
2
∣cos
1

2

i
sin
1

2

z
1
z
2
=
∣
z
1
∣
∣
z
2
∣
cos
1
−
vaphi
2

i
sin
1
−
2

z
n
=∣
z
∣
n
cos
n

i
sin
n

1
n
1
n
cos
2k 
n

i
sin
2k
n
W
k
=
z
=∣
z
∣

,k
=0, 1, ...
,n
−1
PRZESTRZENIE LINIOWE
{V(F), +,
.
} (też przestrzenie wektorowe)
(V - zbiór, F - ciało)
(a) Przestrzenią liniową V nad ciałem F nazywamy układ {V(F), +,
.
} gdzie „+” jest działaniem
wewnętrznym w zbiorze V a „
.”
F
×
V

V
działaniem zewnętrznym
1. {V, + } jest grupą abelową
2. ∀
x
∈
V
∀
a
∈
F a
⋅
x
∈
V ,
x - wektor
3. a) ∀
a,b
∈
F
∀
x
∈
V a
⋅
b
⋅
x
=
a
⋅
b
⋅
x
b) ∀
x
∈
V
1⋅
x
=
x
c) ∀
a,b
∈
F
∀
x
∈
V

a

b
⋅
x
=
ax

bx
d) ∀
a
∈
F
∀
x,y
∈
V a
⋅
x

y
=
ax

ay
(b) Podprzestrzeń liniowa zawarta
W
⊂
V
nazywamy każdy taki podzbiór w przestrzeni V, że W
jest przestrzenią liniową nad F
∀
,
∈
F
∀
W
1,
W
2
∈
W

W
1

W
2
∈
W
(c) baza: Zbiór
{
x
i
}
jest bazą przestrzeni liniowej V(F) jeżeli
1. Jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych
2.
∀
x
∈
V x
=
∑

i
x
i
każdy wektor da się przedstawić jako kombinację liniową wektorów ze
zbioru (napina przestrzeń wektorową)
[4,3]z bazy
B
do
B', B
=
b
1
,b
2

, B'
=
b
1
' ,b
2
'

, b
1
'
=2b
1
−
b
2,
b
2
'
=
b
2

b
1
4b
1
3b
2
=
xb
1
'

yb
2
'
=
x
2b
1
−
b
2

y

b
2

b
2
=
b
1
2x
y

b
2
−
x

y

{
2x
y
=4
−
x

y
=3
(d) układ wektorów
{
x
i
}
i
=1
n
nazywamy układem
wektorów liniowo niezależnych
jeżeli dla
dowolnego układu skalarów
k
i
∈
F
spełniony jest warunek
i
=1
n
k
i
x
i
=0⇒
k
i
=0 dla
i
∈{1, ...
,n
}
PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE
A
:
V

V'
(też odwzorowania liniowe)
(A - przekształcenie liniowe, V i V' - przestrzenie liniowe nad ciałem F)
(a)
A
jest przekształceniem liniowym ⇔ ∀
x,y
∈
V
∀
,
∈
F A

x

y
=⋅
Ax
⋅
Ay
a nie przypadkiem
A

x

y
=
A

x

A

y
?
poprawcie mnie jeśli się mylę
można rozpisać na * przekształcenia liniowego:
*addytywność ∀
x,y
∈
V A

x

b
=
Ax

Ab
*jednorodność ∀
x
∈
V
∀∈
F A

x
=⋅
Ax
(b)

1
,
...
,

n
=
1
,
...
,

m
 :ℝ
n
ℝ
m
i
=1, ...
,m j
=1, ...
,n
n
B
i
=
j
=1
a
ij

j
a
ij
∈ℝ 
i

i
∈ℝ
(c) Jądrem A nazywamy zbiór {
x
∈
V
:
Ax
=0} .
Ker A
jest podprzestrzenią V
(d) Obrazem A nazywamy zbiór
{
y
∈
V'
: ∃
x
∈
V y
=
Ax
}
.
Im A
jest podprzestrzenią V
(e) Rzędem przekształcenia A nazywamy wymiar obrazu A
rk A
=
dim
im
A
(f) Macierz przekształcenia jest to zapis przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych
przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem
Ax
i
=
j
=1
n
a
ij
y
j
i
=1, ...
,n a
ij
∈
F A
:
V

V'
[
]
x
∈
V y
∈
V'
a
11
⋯
a
1n
⋮ ⋱ ⋮
a
m1
⋯
a
mn
PRZEJŚCIE Z JEDNEJ BAZY DO INNEJ BAZY
(a) Macierz przejścia jest to macierz odwracalna, zwana macierzą przejścia z bazy B do bazy B'
(b)
V
=
V
1
e
1
...
V
n
e
n
=
V
1
' e
1
'
...
V
n
' e
n
'
[
]
(c)
A'
=
D
−1
⋅
A
⋅
C
(co jest w miejscu „?”)
(d) Macierz podobna. Dwie macierze (
n
×
n
) A, B są podobne, jeżeli istnieje macierz C (
n
×
n
)
nieosobliwa, że
B
=
C
−1
AC
. Własności:
detB
=
detC, TrA
=
TrB
(
Tr - ślad macierzy
, suma
elementów na diagonalnej (przekątnej) )
]
=
p
−1
[
V
1
⋮
V
n
V
1
'
⋮
V
n
'
 MACIERZE
- macierz zerowa []
ij
=0
- macierz jednostkowa (tylko "1" na przekątnej)
I
- macierz diagonalna (nie ma zer tylko na przekątnej) []
ij
=0 dla
i
≠
j
- macierz odwrotna
A
−1
- macierz ortogonalna
A
T
=
A
−1
- macierz indepotentna
A
2
=
A
[
1 −1
0
]
⋅
[
1 −1
0
]
=
[
1 −1
0
]
0
0
0
- macierz transponowana
A
T
jest macierzą transponowaną do A⇔[
A
T
]
ij
=[
A
]
ji
[
1
4
]
⇒
A
T
=
[
1
4
]
2
3
A
=
3
2
1.
B
=
A
T
⇒
B
T
=
A
2.
A

B

T
=
A
T

B
T
3.
A
⋅
B

T
=
B
T
⋅
A
T
- macierz symetryczna
A
jest symetryczna⇔
A
=
A
T
]
- macierz sprzężona hermitowsko[
A
+
]
ij
=[
A
]
j
*
- macierz samosprzężona hermitowsko
A
=
A
+
[
[
1
5
4
5
2
6
4
6
3
]
rząd macierzy - ilość niezależnych liniowo kolumn
macierz skalarna z przekątną główną (a, …, a)
1
i
1−
i
−
i
2
2i
1
i
−2i
3
[
i
2−
i
5
]
[
−
i
34i
2
i
5
]
+
sprzężenie hermitowskie np.
=
3−4i
WYZNACZNIK MACIERZY KWADRATOWEJ
detA
(A - macierz)
(a) Wyznacznik to funkcja określona na macierzach kwadratowych, związana z mnożeniem i
dodawaniem odpowiednich elementów dużej macierzy, by otrzymać pojedynczą liczbę
det A
=
i
=1
n
−1
i

j
a
ij
detM
ij
(z Laplace'a)
(b) Własności:
1.
detA
=
detA
T
2. Wyznacznik macierzy, w której jeden z wierszy został pomnożony przez liczbę

jest równy
iloczynowi

i wyznacznika wyjściowej macierzy
]
3. Wyznacznik macierzy, której kolumna lub wiersz zawiera same zera = 0
4. Przy zamianie dwóch kolumn lub wierszy znak wyznacznika zmienia się na przeciwny
[
]
=
det
[
a
11
⋯
a
1n

a
21
⋯ 
a
2n
⋮ ⋱ ⋮
a
mn
⋯
a
mn
a
11
⋯
a
1n
a
21
⋯
a
2n
⋮ ⋱ ⋮
a
mn
⋯
a
mn
det
 1 2
]
=6−4=2
5. Wyznacznik macierzy jednostkowej = 1
6. Jeżeli w macierzy są identyczne dwa wiersze lub kolumny to wyznacznik jest równy 0
det A
=−
det A
7.
det

A
⋅
B
=
detA
⋅
detB
8. Wyznacznik nie ulega zmianie jeśli do jednego z jego wierszy dodamy drugi pomnożony przez
liczbę
9. Wyznacznik macierzy, w której wiersze lub kolumny są liniowo zależne jest równy 0
10.
det A
−1
=
1
[
1
4
]
=4−6=−2
det
[
3
2
4
det
3
det A
≠0
det A
n
(c) Rozwinięcie Laplace'a
detA
=
i
=1
−1
i

j
a
ij
⋅
detM
ij
(d) Układ Cramera
det A
≠0
x
i
=
detA
xi
det A

x
=
A
−1
⋅
b b
−
wyrazywolne
Ax
i
- powstaje poprzez zastąpienie i-tej kolumny wyrazem wolnym
układ jednorodny gdy
b
=0
(e) niezależność liniowa wektora jako kolumny, jeżeli det = 0 to zależne liniowo
WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE PRZEKSZTAŁCEŃ LINIOWYCH
(a)

M
−
NieMogęSięOdczytać

x
=0
det

M
−
NieMogęSięOdczytać
=0
[
x
1
]
=
[
x
1
]
My
x
2
x
2
]
=0
(b) Transformacja podobieństwa
macierz diagonalizująca (P), wektory własne jako kolumny
macierz diagonalna, wartości własne na przekątnej
D
=
P
−1
AP
[
x
1
[
My
−]
x
2
PRZESTRZENIE Z ILOCZYNEM WEWNĘTRZNYM
(iloczyn skalarny)
(a) Iloczyn wewnętrzny: operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom tej
przestrzeni wartość skalarną
Iloczyn skalarny:

x,y
∈
F x,y
∈
V
1. 
x,y
=
u,x

*
2. 
x,

y

z
=
z,y

x,z


y

z,z
=
z,

y

z
¿
*
=
*

x,y

*

*

z,z

*
=
*

y,z

*

z,x

3. ∀
x
∈
V

x,x
0

x,x
=0⇒
x
=0

x,x
∈ℝ
,
bo :⇒
x,x
=
x,x

*

x,x
−
x,x

*
=0⇒2 Im
x,x
=0
(b) Zbiory ortonormalne
{
x
i
}
i
n
=1 jest zbiorem ortonormalnym
⇔
x
i
,x
j
=
ij

x
i
,x
j
=
ij
{
1
i
=
j
0
!!i
≠
j
(c) Zupełność zbioru ortonormalnego nie zawiera się z żadnym większym zbiorze ortonormalnym
(d) Własności:
X
={
x
i
}
i
n
=1 w przestrzeni V
x
- jest zbiorem ortonormalnym zupełnym
 1. 
x
i
,x
=0
i
=1, ...
,n
to
x
=0
Ortogonalne dla wszystkich elementów
2.
x
napina przestrzeń wektorową
3.
x
∈
V x
=
i
=1
n

i
x
i

i

x
i
,x

n
4. Jeżeli
x,y
∈
V
to 
x,y
=
i
=1

x,x
i

x
i
,y

n
5. Jeżeli
x
∈
V
∥
x
∥=
i
=1

x
i
,x

2
(e) Ortogonalizacja Grama-Schmidta
y
k
=
x
k
−
y
1
,x
k

y
1
−...−
y
k
−1
,x
k

y
k
−1
∥
x
k
−
y
1
,x
k

y
1
−...−
y
k
−1
,x
k

y
k
−1
∥
PRZEKSZTAŁCENIA SPRZĘŻONE DO DANEGO PRZEKSZTAŁCENIA
Przekształcenia B jest sprzężone do A jeśli

Ax,

y
=
x,B

y

Zazwyczaj przekształcenie sprzężone do
A
:
A
+
Samosprzężone
A
+
=
A
(rzeczywiste wartości własne)
Macierz unitarna
A
−1
=
A
*
T
detA
=1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]