Algebra 2-09 interpolacja ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład9
Interpolacjawielomianowa
Niech
K
b¦dziepewnymciałeminiech
a
1
,a
2
,...,a
n
,b
1
,b
2
,...,b
n
b¦d¡
pewnymielementamiciała
K
(
a
i
6
=
a
j
dla
i
6
=
j
).Zadaniejestnast¦puj¡ce.
Chcemyznale¹¢wielomian
f
(
x
)
2
K
[
x
],taki»e
f
(
a
1
)=
b
1
,f
(
a
2
)=
b
2
,...,f
(
a
n
)=
b
n
Podamyterazdwasposobykonstrukcjitakichwielomianów.
I.
InterpolacjaLagrange’a.
Budujemywyra»enia:
f
i
(
x
)=
(
x
−
a
1
)(
x
−
a
2
)
...
(
x
−
a
i
−
1
)(
x
−
a
i
+1
)
...
(
x
−
a
n
)
(
a
i
−
a
1
)(
a
i
−
a
2
)
...
(
a
i
−
a
i
−
1
)(
a
i
−
a
i
+1
)
...
(
a
i
−
a
n
)
Mo»nazauwa»y¢,»e
f
i
(
a
i
)=1idla
i
6
=
j
,
f
i
(
a
j
)=0.Wtedynaszym
poszukiwanymwielomianemb¦dzie:
f
(
x
)=
b
1
f
1
(
x
)+
b
2
f
2
(
x
)+
...
+
b
n
f
n
(
x
)
Przykład
Wyznaczy¢wielomian
f
(
x
)
2
R
[
x
],taki»e
f
(1)=2
,f
(2)=
−
1
,f
(3)=3
2
·
1
=
(
x
−
2)(
x
−
3)+(
x
−
1)(
x
−
3)+
3
2
(
x
−
1)(
x
−
2)
II.
InterpolacjaNewtona.
Wielomianwtymprzypadkubudujemynast¦puj¡co:
f
(
x
)=
c
0
+
c
1
(
x
−
a
1
)+
c
2
(
x
−
a
1
)(
x
−
a
2
)+
...
+
c
n
−
1
(
x
−
a
1
)
...
(
x
−
a
n
−
1
)
Wstawianiekolejnoza
x
warto±ci
a
1
,...,a
n
iprzyrównanieichdo
b
1
,...,b
n
pozwolinamjednoznaczniewyznaczy¢warto±ci
c
0
,...,c
n
−
1
.
Przykład
Wyznaczymyt¡metod¡wielomian
f
(
x
),któryspełniatesame
własno±cicowielomianzpoprzedniegoprzykładu.Naszwielomianmateraz
posta¢:
f
(
x
)=
c
0
+
c
1
(
x
−
1)+
c
2
(
x
−
1)(
x
−
2)
Wstawiamykolejnoza
x
:1
,
2
,
3iotrzymujemy:
f
(1)=
c
0
=2
f
(2)=
c
0
+
c
1
=
−
1
f
(3)=
c
0
+2
c
1
+2
c
2
=3
Rozwi¡zaniemtegoukładujest
c
0
=2
,c
1
=
−
3
,c
2
=
7
2
.Tonamdajenasz
wielomian.
1
(
−
1)(
−
2)
−
(
x
−
1)(
x
−
3)
1(
−
1)
+3
(
x
−
1)(
x
−
2)
Korzystaj¡czinterpolacjiLagrange’aotrzymujemy:
f
(
x
)=2
(
x
−
2)(
x
−
3)
Wniosek1
Je±liKjestciałemsko«czonymtoka»dafunkcjaK
!
Kmo»e
by¢zapisanajakowielomian.
Kongruencjewpier±cieniachwielomianów
Niech
K
b¦dziedowolnymciałeminiech
K
[
x
]oznaczapier±cie«wielo-
mianównad
K
.Niech
f
(
x
)
2
K
[
x
].Rozwa»mynast¦puj¡c¡relacj¦.Je±li
g
(
x
)
,h
(
x
)
2
K
[
x
]to:
g
(
x
)
f
h
(
x
)
()
f
(
x
)
|
(
g
(
x
)
−
h
(
x
))
Relacja
f
jestrelacj¡równowa»no±ciw
K
[
x
].Ponadtospełniaonanast¦-
puj¡cewłasno±ci:
g
(
x
)
f
h
(
x
)
g
1
(
x
)
f
h
1
(
x
)
)
)
(
g
(
x
)+
g
1
(
x
))
f
(
h
(
x
)+
h
1
(
x
))
g
(
x
)
g
1
(
x
)
f
h
(
x
)
h
1
(
x
)
Relacj¦t¡nazywa¢b¦dziemyrelacj¡przystawaniamodulo
f
(
x
)lubkongru-
encj¡wpier±cieniu
K
[
x
].Podobniejakdlaanalogicznychrelacjiwpier±cieniu
liczbcałkowitych,relacjaprzystawaniapozwalanamwprowadzi¢działania
wzbiorzeklasabstrakcji:
[
g
(
x
)]+[
h
(
x
)]=[
g
(
x
)+
h
(
x
)]
[
g
(
x
)]
·
[
h
(
x
)]=[
g
(
x
)
h
(
x
)]
Zbiórklasabstrakcjioznacza¢b¦dziemywtymprzypadkuprzez
K
[
x
]
/
(
f
(
x
)).
Twierdzenie1
Struktura
(
K
[
x
]
/
(
f
(
x
))
,
+
,
·
)
jestpier±cieniemprzemiennym
zjedynk¡.Zeremjestklasa
[0]
,ajedynk¡
[1]
.
Jakmo»naopisywa¢klasyabstrakcjitejrelacji?Okazujesi¦,»eistnieje
prostysposóbtakiegoopisu.
Załó»my,»ewielomian
f
(
x
)którydefiniujenasz¡relacjemastopie«
n
.Wtedy
wka»dejklasieabstrakcjiistniejedokładniejedenwielomianstopniamniej-
szegoni»
n
.Rzeczywi±cieje±liwielomian
g
(
x
)mastopie«wi¦kszyod
n
to
mo»emypodzieli¢
g
(
x
)przez
f
(
x
)zreszt¡:
g
(
x
)=
q
(
x
)
f
(
x
)+
r
(
x
)
,r
(
x
)=0lubst(
r
(
x
))
<
st(
f
(
x
))
iwtedywielomiany
g
(
x
)i
r
(
x
)s¡zesob¡wrelacji.Awi¦cka»daklasa
abstrakcjijestjednoznaczniewyznaczonaprzezwielomianstopniamniejszego
ni»stopie«wielomianu
f
(
x
).
Twierdzenie2
StrukturaK
[
x
]
/
(
f
(
x
))
jestciałemwtedyitylkowtedygdy
f
(
x
)
jestwielomianemnierozkładalnymnadK.
2
Przykład
Niech
K
=
Z
2
iniech
f
(
x
)=
x
3
+
x
+1.Wtedy
f
(
x
)jestwielo-
mianemnierozkładalnymna
Z
2
.Relacja
f
wyznaczapodziałnanast¦puj¡ce
klasyabstrakcji:
[0]
,
[1]
,
[
x
]
,
[
x
+1]
,
[
x
2
]
,
[
x
2
+1]
,
[
x
2
+
x
]
,
[
x
2
+
x
+1]
.
Poka»emykilkaprzykładówdodawaniaimno»enia:
[
x
2
+
x
]+[
x
+1]=[
x
2
+1]
[
x
2
+
x
]
·
[
x
+1]=[(
x
2
+
x
)(
x
+1)]=[
x
3
+1]=[(
x
3
+
x
+1)+
x
]=[
x
]
[
x
2
+
x
+1]
2
=[(
x
2
+
x
+1)
2
]=[
x
4
+
x
2
+1]=[
x
(
x
+1)+
x
2
+1]=
[
x
2
+
x
+
x
2
+1]=[
x
+1]
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]