Algebra 2-06 pierścienie

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład6
Wdowolnympier±cieniumo»nazdefiniowa¢pot¦gowanieelementówja-
ko
a
n
=
a
·
a
·
··
a
.Mo»emyrównie»zdefiniowa¢pot¦g¦
a
0
jako1
P
(je±li
P
posiadajedynk¦).Dokładnietaksamojakwpier±cieniuliczbcałkowitych
pot¦gowaniemanast¦puj¡cewłasno±ci:
(1)
a
n
+
m
=
a
n
·
a
m
.
(2)
a
nm
=(
a
n
)
m
.
Podobniemo»nazdefiniowa¢mno»enieelementudanegopier±cienia
P
przezliczbycałkowite.Je±li
p
2
P
i
n
2
Ztodla
n>
0mamy
np
=
p
+
p
+
...p
| {z }
n
×
,adla
n<
0mamy
np
=
−
p
−
p
−
...
−
p
| {z }
|
n
|×
idodatkowo0
p
=0
P
.
Mno»enietomadwieponi»szewłasno±ci:
(1)(
n
+
m
)
p
=
np
+
mp
.
(2)(
nm
)
p
=
n
(
mp
).
(3)Je±li
P
posiadajedynk¦to(
kl
)1
P
=(
k
1
P
)(
l
1
P
).
Niech
K
b¦dzieciałem.Je±li
n
jestnajmniejsz¡liczb¡naturaln¡
6
=0,tak¡
»e
n
·
1
K
=0tomówimy»e
K
macharakterystyk¦równ¡
n
,aje±litakaliczba
nieistniejetomówimy,»e
K
macharakterystyk¦zero.Charakterystyk¦ciała
oznacza¢b¦dziemyprzezChar
K
.
Przykład
Char
Z
p
=
p
,Char
Q
=0.
Twierdzenie1
Charakterystykaciałajestliczb¡pierwsz¡lubjestrównaze-
ro.
Dowód
Przypu±¢my,»echarakterystykaciała
K
jestró»naodzera.Wtedy
Char
K
=
n
.Je±li
n
niejestliczb¡pierwsz¡toistniej¡liczby
k,l
ró»neod
±
1,»e
n
=
kl
.Wtedy
n
1
K
=(
kl
)1
K
=(
k
1
K
)(
l
1
K
)=0iponiewa»w
K
nie
madzielnikówzerato
k
1
K
=0lub
l
1
K
=0.Awi¦cje±li
n
niejestpierwsza
toniejestnajmniejsz¡owłasno±ci
n
1
K
=0.
Twierdzenie2
Je±liKjestciałemtoistniejepodciałoK
1
tegociałaizo-
morficznezciałemQlubzciałemZ
p
dlapewnejliczbypierwszejp.
Dowód
Niechcharakterystykaciała
K
b¦dzierównapewnejliczbiepierwszej
p
.Oznaczmyprzez
K
1
zbiór:
K
1
=
{
n
1
K
:
n
2
N
}
1
| {z }
n
×
Zbiór
K
1
madokładnie
p
elementów:1
,
1+1
,
1+1+1
,...,
1+1+
...
+1
| {z }
p
−
1
.
Ponadto
K
1
jestzamkni¦tyzewzgl¦dunadodawanieimno»enie.Rzeczy-
wi±cie
k
1+
l
1=(
k
+
l
)1i(
k
1)(
l
1)=(
kl
)1.Odwzorowanie
f
:
Z
p
!
K
1
,
f
(
k
)=
k
1jestizomorfizmem.Podobniemo»naudowodni¢,»eje±licharakte-
rystykaciała
K
jestrównazeroto
K
1
jestizomorficznyzpier±cieniemliczb
całkowitych,atooznacza»ewciele
K
istniejepodciałoizomorficznezciałem
liczbwymiernych.
Twierdzenie3
Je±liciałoKjestsko«czonetoliczbajegoelementówjest
równap
k
dlapewnejliczbypierwszejpipewnejliczbynaturalnejk.
Dowód
Je±li
K
jestciałemsko«czonymtojegocharakterystykamusiby¢
ró»naodzera.Awi¦cistniejeliczbapierwsza
p
,taka»eChar
K
=
p
.Na
podstawiepoprzedniegotwierdzeniaistniejepodciało
K
1
ciała
K
,którejest
izomorficznezciałem
Z
p
.Ciało
K
mo»natraktowa¢jakoprzestrze«linio-
w¡nad
K
1
.Przestrze«tajestsko«czeniewymiarowa(boliczbawektorów
jestsko«czona).Istniej¡,zatem,wektory
v
1
,...,v
k
,którestanowi¡baz¦tej
przestrzeni.Tooznacza,»eka»dyelement
v
2
K
majednoznacznyzapisw
postaci:
v
=
1
v
1
+
2
v
2
+
...
+
k
v
k
,
gdzie
i
2
K
1
.Awi¦cliczbawektorówzciała
K
jestrównaliczbiewszystkich
mo»liwychci¡gów(
1
,
2
,...,
k
)owyrazachzciała
K
1
.Poniewa»wciele
K
1
jestdokładnie
p
elementówtowciele
K
jestdokładnie
p
k
elementów.
Przykład
Nieistniejeciało,któremadokładnie6elementów,boliczba6
niejestpot¦g¡liczbypierwszej.
Pier±cieniewielomianów
Niech
P
b¦dziepewnympier±cieniem.
Wielomianem
owspółczynnikach
zpier±cienia
P
nazywamywyra»eniepostaci:
a
0
+
a
1
x
+
...
+
a
n
x
n
gdzie
a
i
2
P
.Ka»dyelement
a
i
nazywamywspółczynnikamitegowielomianu,
aelement
x
nazywamyzmienn¡.Wyra»eniaterozumiemywsposóbformal-
nyniejakofunkcjealejakonapisyformalne.Zbiórwszystkichwielomianów
jednejzmiennej
x
owspółczynnikachzpier±cienia
P
oznaczamyprzez
P
[
x
].
Zmienna
x
spełnianast¦puj¡cewłasno±ci:
(i)
ax
=
xa
dlaka»dego
a
2
P
.
(ii)Ka»dyelementzezbioru
P
[
x
]majednoznacznyzapiswpostaci:
a
0
+
a
1
x
+
...
+
a
n
x
n
2
gdzie
a
i
2
P
i
n
­
0.
(iii)Je±li
n
¬
m
i:
a
0
+
a
1
x
+
...
+
a
n
x
n
=
b
0
+
b
1
x
+
...
+
b
m
x
m
wtedy
a
i
=
b
i
dlaka»dego
i
¬
n
i
b
i
=0
P
dlaka»dego
i>n
.
Przykład
Wielomian2+0
x
−
x
2
+0
x
3
+5
x
4
2
R[
x
]zapisywa¢b¦dziemy
zwyklewpostaci2
−
x
2
+5
x
4
.
Przykład
Jakwiadomowielomianymo»nadodawa¢imno»y¢:
Niech
f
(
x
)=1+5
x
−
x
2
+4
x
3
+2
x
4
,g
(
x
)=4+2
x
+3
x
2
+
x
3
2
Z
7
[
x
]wtedy:
f
(
x
)+
g
(
x
)=5+2
x
2
+5
x
3
+2
x
4
.
f
(
x
)
g
(
x
)=2
x
7
+3
x
6
+
x
5
+4
x
4
+2
x
3
+2
x
2
+
x
+4.
Ogólniejdziałaniadodawaniaimno»eniawielomianówmo»nawprowadzi¢
nast¦puj¡co:
(
a
0
+
a
1
x
+
...
+
a
n
x
n
)+(
b
0
+
b
1
x
+
...
+
b
n
x
n
)=
(
a
0
+
b
0
)+(
a
1
+
b
1
)
x
+
...
+(
a
n
+
b
n
)
x
n
(
a
0
+
a
1
x
+
...
+
a
n
x
n
)
·
(
b
0
+
b
1
x
+
...
+
b
m
x
m
)=
a
0
b
0
+(
a
0
b
1
+
a
1
b
0
)
x
+(
a
0
b
2
+
a
1
b
1
+
a
2
b
0
)
x
2
+
...
+
a
n
b
m
x
n
+
m
dokładniejmówi¡cwspółczynnikprzy
x
k
jestrówny:
a
0
b
k
+
a
1
b
k
−
1
+
a
2
b
k
−
2
+
...
+
a
k
−
2
b
2
+
a
k
−
1
b
1
+
a
k
b
0
=
k
X
a
i
b
k
−
i
i
=0
Twierdzenie4
Struktura
(
P
[
x
]
,
+
,
·
)
(zdziałaniamijakpowy»ej)jestpier-
±cieniem.Je±liPjestpier±cieniemprzemiennymtoP
[
x
]
te»jestpier±cie-
niem.Je±liPmajedynk¦toP
[
x
]
te».
Niech
f
(
x
)=
a
0
+
a
1
x
+
...
+
a
n
x
n
b¦dziewielomianemnad
P
iniech
a
n
6
=0
P
.Wtedyliczb¦
n
nazywamy
stopniemwielomianu
f
(
x
),aelement
a
n
nazywamyelementemwiod¡cym.Stopie«wielomianu
f
(
x
)oznacza¢b¦-
dziemyprzezst(
f
(
x
)).
Jedynymwielomianem,którynieposiadastopniajestwielomianzerowy
f
(
x
)=0
P
.
Twierdzenie5
Je±liPjestdziedzin¡całkowito±citodladowolnychnieze-
rowychwielomianówf
(
x
)
,g
(
x
)
2
P
[
x
]
mamy:
st
(
f
(
x
)
g
(
x
))=
st
(
f
(
x
))+
st
(
g
(
x
))
Wniosek1
Je±liPjestdziedzin¡całkowito±citoP
[
x
]
te»jestdziedzin¡.
3
Algorytmdzielenia
Twierdzenie6
NiechKbedziedowolnymciałeminiechf
(
x
)
,g
(
x
)
2
K
[
x
]
,
gdzieg
(
x
)
6
=0
K
.Wtedyistniejedokładniejednaparawielomianówq
(
x
)
,r
(
x
)
2
K
[
x
]
,takich»e:
f
(
x
)=
q
(
x
)
g
(
x
)+
r
(
x
)
ir
(
x
)=0
K
lubst
(
r
(
x
))
<st
(
g
(
x
))
Wielomian
r
(
x
)nazywamyreszt¡zdzieleniawielomianu
f
(
x
)przez
g
(
x
).
Przykład
Podzielimywielomian3
x
5
+2
x
4
+2
x
3
+4
x
2
+
x
−
2przez2
x
3
+1
(jakowielomianyowspółczynnikachrzeczywistych).
3
3
x
5
+2
x
4
+2
x
3
+4
x
2
+
x
−
2: 2
x
3
+1
3
x
5
+
2
x
2
2
x
4
+2
x
3
+
5
2
x
2
+
x
−
2
2
x
4
+
x
2
x
3
+
5
2
x
2
−
2
2
x
3
+ +1
2
x
2
−
3
reszta
Podamyterazłatwysposóbdzieleniawielomianu
f
(
x
)=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
...a
1
x
+
a
0
przezdwumianpostaci
x
−
c
.Algorytmtennazywasi¦
schema-
temHornera
.
5
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
...
+
a
1
x
+
a
0
=(
x
−
c
)(
b
n
−
1
x
n
−
1
b
n
−
2
x
n
−
2
+
...
+
b
1
x
+
b
0
)+
r
współczynniki
b
i
orazreszt¦
r
znajdujemykorzystaj¡cznast¦puj¡cejtabelki:
a
n
a
n
−
1
a
n
−
2
... a
1
a
0
c
a
n
cb
n
−
1
+
a
n
−
1
cb
n
−
2
+
a
n
−
2
...cb
1
+
a
1
cb
0
+
a
0
=
b
n
−
1
=
b
n
−
2
=
b
n
−
3
=
b
0
=
r
Przykład
Podzieli¢wielomian
f
(
x
)=2
x
5
−
9
x
4
+4
x
3
−
x
2
+27przezdwumian
x
−
4.
Rozwi¡zanie
Korzystamyzpowy»szegoalgorytmu:
2
−
94
−
1027
42
−
10
−
1
−
411
4
2
x
2
+
x
+1
3
Zatemmamy
f
(
x
)=(
x
−
4)(2
x
4
−
x
3
−
x
−
4)+11.
Niech
K
b¦dzieciałeminiech
f
(
x
)
,g
(
x
)
2
K
[
x
].B¦dziemymówi¢,»e
f
(
x
)dzieliwielomian
g
(
x
)je±liistniejewielomian
h
(
x
)
2
K
[
x
]taki,»e
g
(
x
)=
f
(
x
)
h
(
x
)ipiszemywtedy
f
(
x
)
|
g
(
x
).Awi¦cmamy:
f
(
x
)
|
g
(
x
)
() 9
h
(
x
)
2
K
[
x
]
g
(
x
)=
f
(
x
)
h
(
x
)
Przykład
(2
x
+1)
|
(6
x
2
−
x
−
2).
Je±liwielomian
f
(
x
)dzieliwielomian
g
(
x
),awielomian
g
(
x
)dzieliwielo-
mian
h
(
x
)towielomian
f
(
x
)dzieliwielomian
h
(
x
),czyli:
f
(
x
)
|
g
(
x
)i
g
(
x
)
|
h
(
x
)
)
f
(
x
)
|
h
(
x
)
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]