Algebra 1-07 ortogonalizacja

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład7
Mówimy,»ewektor
v
jestortogonalnydowektora
w
je±li(
v
|
w
)=0ipio-
szemy
v
?
w
.Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡euklidesow¡ziloczynemskalarnym
(
·|·
)iniech
w
1
,w
2
,...,w
n
b¦dziebaz¡tejprzestrzeni.B¦dziemymówi¢,»e
baza
w
1
,w
2
,...,w
n
jestortogonalnaje±li:
(
w
i
|
w
j
)=0dla
i
6
=
j
Baz¦
w
1
,w
2
,...,w
n
nazywamybaz¡ortonormaln¡je±lijestbaz¡ortogonaln¡
idlaka»dego
i
2{
1
,
2
,...,n
}
mamy(
w
i
|
w
i
)=1(toznaczydługo±¢ka»dego
wektorajestrówna1).
Przykład
Niech
V
=
R
n
b¦dzieprzestrzeni¡euklidesow¡zestandardowym
iloczynemskalarnym:
((
x
1
,x
2
,...,x
n
)
|
(
y
1
,y
2
,...,y
n
))=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
...
+
x
n
y
n
Wtedybazakanoniczna
e
1
=(1
,
0
,...,
0)
,e
2
=(0
,
1
,...,
0)
,...,e
n
=(0
,
0
,...,
1)
jestbaz¡ortonormaln¡tejprzestrzeni.
Pytanie,któretutajsi¦pojawiajestnast¦puj¡ce:czywka»dejsko«czenie
wymiarowejprzestrzenieuklidesowejmo»naznale¹¢przynajmniejjedn¡baz¦
ortogonaln¡(ortonormaln¡)?Odpowied¹brzmitak.Doznajdowaniatakich
bazsłu»ytakzwanametodaortogonalizacjiGrama-Schmidta.
OrtogonalizacjaGrama-Schmidta
Niech
v
1
,v
2
,...,v
n
b¦dziedowoln¡baz¡przestrzenieuklidesowej
V
.Opie-
raj¡csi¦natejbaziezbudujemynow¡baz¦
w
1
,w
2
,...,w
n
,którab¦dzieor-
togonalna.Baz¦t¡budujemywnast¦puj¡cysposób:
w
1
=
v
1
w
2
=
v
2
+
k
12
w
1
w
3
=
v
3
+
k
13
w
1
+
k
23
w
2
w
4
=
v
4
+
k
14
w
1
+
k
24
w
2
+
k
34
w
3
.
.
.
w
n
=
v
n
+
k
1
n
w
1
+
k
2
n
w
2
+
...
+
k
nn
w
n
Wektor
w
1
mamyju»okre±lony.Wyznaczmywektor
w
2
.Poniewa»nowabaza
maby¢ortogonalnatomusiby¢spełnionywarunek:(
w
2
|
w
1
)=0.Korzystaj¡c
zwłasno±ciiloczynuskalarnegoobliczamy:
0=(
w
2
|
w
1
)=(
v
2
+
k
12
w
1
|
w
1
)=(
v
2
|
w
1
)+
k
12
(
w
1
|
w
1
)
st¡dotrzymujemy:
k
12
=
−
(
v
2
|
w
1
)
(
w
1
|
w
1
)
1
Wyznaczymyterazwektor
w
3
.Poniewa»wektortenjestortogonalnydowek-
tora
w
1
tootrzymujemy(korzystaj¡czfaktu,»e(
w
2
|
w
1
)=0):
0=(
w
3
|
w
1
)=(
v
3
+
k
13
w
1
+
k
23
w
2
|
w
1
)=
(
v
3
|
w
1
)+
k
13
(
w
1
|
w
1
)+
k
23
(
w
2
|
w
1
)=(
v
3
|
w
1
)+
k
13
(
w
1
|
w
1
)
k
13
=
−
(
v
3
|
w
1
)
(
w
1
|
w
1
)
Współczynnik
k
23
wyznaczymyzrówno±ci(
w
3
|
w
2
)=0i(
w
3
|
w
1
)=0:
0=(
w
3
|
w
2
)=(
v
3
+
k
13
w
1
+
k
23
w
2
|
w
2
)=
(
v
3
|
w
2
)+
k
13
(
w
1
|
w
2
)+
k
23
(
w
2
|
w
2
)=(
v
3
|
w
1
)+
k
13
(
w
1
|
w
1
)
k
23
=
−
(
v
3
|
w
2
)
(
w
2
|
w
2
)
Post¦puj¡cpodobniezdalszymiwektoramiotrzymamy:
k
ij
=
−
(
v
j
|
w
i
)
(
w
i
|
w
i
)
Wtensposóbotrzymujemynow¡baz¦
w
1
,w
2
,...,w
n
,którajestortogonal-
na.Abyotrzyma¢baz¦ortonormaln¡wystarczyka»dyzwektorówpodzieli¢
przezjegodługo±¢,toznaczybaz¡ortonormaln¡jestukład:
||
w
1
||
w
1
,
1
1
||
w
2
||
w
2
,...,
1
||
w
n
||
w
n
Rzeczywi±cie:
1
||
w
i
||
w
i
1
||
w
i
||
w
i
!
1
||
w
i
||
!
2
1
||
w
i
||
!
2
=
(
w
i
|
w
i
)=
||
w
i
||
2
=1
Przykłady
(1)Wprzestrzenieuklidesowej
R
3
ziloczynemskalarnym
((
x
1
,x
2
,x
3
)
|
(
y
1
,y
2
,y
3
))=
x
1
y
1
+
x
2
+
y
2
+
x
3
y
3
zortogonalizowa¢,metod¡Grama-Schmidta,baz¦
v
1
=(1
,
2
,
3)
,v
2
=(2
,
1
,
0)
,v
3
=
(3
,
1
,
2).Zgodnieznaszymalgorytmemnowabazab¦dziepostaci:
w
1
=
v
1
w
2
=
v
2
+
k
12
w
1
w
3
=
v
3
+
k
13
w
1
+
k
23
w
2
2
st¡d:
zatem:
gdzie:
k
12
=
−
(
v
2
|
w
1
)
(
w
1
|
w
1
)
=
−
4
14
=
−
2
7
zatem
w
2
=(2
,
1
,
0)
−
2
7
(1
,
2
,
3)=(
12
7
,
3
7
,
−
6
7
).Obliczmydalszewspółczynniki:
(
w
1
|
w
1
)
=
−
11
14
k
23
=
−
(
v
3
|
w
2
)
(
w
2
|
w
2
)
=
−
27
7
189
49
=
−
1
st¡dotrzymujemy:
w
3
=(3
,
1
,
2)
−
11
14
(1
,
2
,
3)
−
12
7
,
3
7
,
−
6
=
2
,
−
1
,
1
7
2
(2)Wprzestrzenieuklidesowej
R
[
x
]
2
ziloczynemskalarnym:
1
Z
(
f
(
x
)
|
g
(
x
))=
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
−
1
zortogonalizowa¢baz¦
v
1
(
x
)=
x,v
2
(
x
)=
x
+2
,v
3
(
x
)=
x
2
−
1.Nowabaza
b¦dziepostaci:
w
1
=
v
1
w
2
=
v
2
+
k
12
w
1
w
3
=
v
3
+
k
13
w
1
+
k
23
w
2
Obliczmy
1
Z
x
2
dx
=
x
3
3
|
1
−
1
=
2
(
w
1
|
w
1
)=
3
−
1
oraz:
1
Z
x
(
x
+2)
dx
=
x
3
3
|
1
−
1
+
x
2
|
1
−
1
=
2
(
v
2
|
w
1
)=
3
−
1
Zatem
k
13
=
−
(
v
3
|
w
1
)
(
w
1
|
w
1
)
=
−
1
imamy:
w
2
=2
Obliczmyteraz
1
Z
(
x
2
−
1)
xdx
=
x
4
4
|
1
−
1
−
x
2
(
v
3
|
w
1
)=
2
|
1
−
1
=0
−
1
3
k
13
=
−
(
v
3
|
w
1
)
1
tooznacza,»e
k
13
=0.Dalejobliczymy:
1
Z
2(
x
2
−
1)
dx
=2
x
3
3
|
1
−
1
−
2
x
1
−
1
=
2
3
−
4=
−
10
(
v
3
|
w
2
)=
3
−
1
1
Z
(
w
2
|
w
2
)=
4
dx
=4
x
|
1
−
1
=8
−
1
St¡d
k
23
=
−
(
v
3
|
w
2
)
(
w
2
|
w
2
)
=
5
12
Zatem
w
3
(
x
)=
x
2
−
1+
5
6
.
Trzebazwróci¢uwag¦nanast¦puj¡cywa»nyfaktwynikaj¡cyzortogonali-
zacji.Je±li
v
1
,v
2
,...,v
n
jestdowoln¡baz¡przestrzenieuklidesowej
V
ije±li
w
1
,w
2
,...,w
n
jestortogonalizacj¡tejbazy(wsensieGrama-Schmidta)todla
ka»dego
i
2{
1
,
2
,...,n
}
podprzestrzeniegenerowaneprzezwektory
v
1
,...,v
i
iprzezwektory
w
1
,...,w
i
s¡równe,czyli:
8
i
2{
1
,...,n
}
Lin(
v
1
,...,v
i
)=Lin(
w
1
,...,w
i
)
Niech
A
b¦dziedowolnymniepustympodzbioremprzestrzenieuklidesowej
V
.Wtedydopełnieniemortogonalnymzbioru
A
nazywamyzbiórwszystkich
wektorów
v
2
V
,takich»edlaka»dego
a
2
A
mamy
a
?
v
.Dopełnienie
ortogonalnezbioru
A
oznaczamyprzez
A
?
,czyli
A
?
=
{
v
2
V
:
8
a
2
A
(
a
|
v
)=0
}
Twierdzenie1
Je±liAjestniepustympodzbioremprzestrzenieuklidesowej
VtoA
?
jestpodprzestrzeni¡przestrzeniV.
Dowód
Niech
v,w
2
A
?
wtedydlaka»dego
a
2
A
mamy(
a
|
v
)=0
,
(
a
|
w
)=
0.Wtedydlaka»dego
a
2
A
mamy(
a
|
v
+
w
)=(
a
|
v
)+(
a
|
w
)=0+0=0,
awi¦c
v
+
w
2
A
?
.Podobniedlaka»dego
a
2
A
idlaka»dego
k
2
R
mamy
(
a
|
kv
)=
k
(
a
|
v
)=0,awi¦crównie»
kv
2
A
?
.
Nietrudnojestzauwa»y¢,»e:
(1)
{
0
}
?
=
V
,
(2)
V
?
=
{
0
}
.
Twierdzenie2
NiechWb¦dziepodprzestrzeni¡przestrzenieuklidesowejV.
WtedyV
=
W
W
?
,awi¦c:
dim
V
=dim
W
+dim
W
?
4
Dowód
Niech
a
1
,...,a
s
b¦dziebaz¡przestrzeni
W
,wtedymo»nat¡baz¦
uzupełni¢dobazycałejprzestrzeni
V
.Niech
a
1
,...,a
s
,a
s
+1
,...,a
n
b¦dzie
baz¡przestrzeni
V
.Wtedybaz¦t¡mo»nazortogonalizowa¢metod¡Grama-
Schmidta.Niech
b
1
,...,b
s
,b
s
+1
,...,b
n
b¦dzieodpowiedni¡ortogonalizacj¡.
Zgodniezuwag¡powy»ejwektory
b
1
,...,b
s
stanowi¡baz¦przestrzeni
W
.
Nietrudnojestzauwa»y¢,»ewektory
b
s
+1
,...,b
n
nale»¡do
W
?
.Tooznacza,
»e
V
=
W
+
W
?
.Abyzako«czy¢dowódwystarczyzauwa»y¢,»e
W
\
W
?
=
{
0
}
.Rzeczywi±cieje±li
x
2
W
\
W
?
toponiewa»
x
2
W
i
x
2
W
?
musimy
mie¢(
x
|
x
)=0,atojestmo»liwetylkowtedygdy
x
=0(patrzaksjomaty
iloczynuskalarnego.
Poka»emyjeszczejedn¡wa»n¡własno±¢dopełnie«.Je±li
W
jestpodprze-
strzeni¡sko«czeniewymiarowejprzestrzenieuklidesowej
V
to
(
W
?
)
?
=
W
Zawieranie
W
(
W
?
)
?
jestspełnionezawsze(niepotrzebnejestzało»enie
osko«czonymwymiarzeprzestrzeni
V
),boje±li
x
2
W
to
x
jestortogonalne
doka»degoelementuprzestrzeni
W
?
,awi¦c
x
2
(
W
?
)
?
.Zauwa»myteraz,
»ezgodniezpowy»szymTwierdzeniemmamy:
dim
V
=dim
W
+dim
W
?
=dim
W
?
+dim(
W
?
)
?
atooznacza,»edim
W
=dim(
W
?
)
?
iponiewa»
W
(
W
?
)
?
tomamy
W
=(
W
?
)
?
.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]