Algebra 1-06 iloczyn skalarny

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład6
Iloczynskalarny
Niech
K
b¦dzieciałemliczbrzeczywistych
R
lubciałemliczbzespolonych
C
.Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem
K
,wtedyfunkcj¦:
S
:
V
×
V
!
K
nazywamyil
oczyne
mskalarnymje±li
8
u,v,w
2
V,k
2
K
:
1.
S
(
u,v
)=
S
(
v,u
),
2.
S
(
u
+
v,w
)=
S
(
u,w
)+
S
(
v,w
),
3.
S
(
ku,v
)=
kS
(
u,v
),
4.
S
(
u,u
)
­
0ije±li
S
(
u,u
)=0to
u
=0.
Zwyklezamiastpisa¢
S
(
u,v
)b¦dziemypisa¢(
u
|
v
).
Przykłady
1.
Wprzestrzeni
V
=
R
3
iloczynemskalarnymjestfunkcja:
((
x
1
,x
2
,x
3
)
|
(
y
1
,y
2
,y
3
))=
3
X
x
i
y
i
i
=1
2.
Wtejsamejprzestrzeni
V
=
R
3
iloczynemskalarnymjestrównie»funkcja:
((
x
1
,x
2
,x
3
)
|
(
y
1
,y
2
,y
3
))=
3
X
ix
i
y
i
i
=1
3.
Wprzestrzeni
V
=
R
n
iloczynemskalarnymjestfunkcja:
((
x
1
,...,x
n
)
|
(
y
1
,...,y
n
))=
n
X
x
i
y
i
i
=1
4.
Wprzestrzeni
C
(
a,b
)funkcjici¡głychnaodcinku(
a,b
)funkcja:
b
Z
(
f
|
g
)=
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
a
jestiloczynemskalarnym.
5.
Wprzestrzeni
V
=
C
3
iloczynemskalarnymjestfunkcja:
((
x
1
,...,x
n
)
|
(
y
1
,...,y
n
))=
3
X
x
i
y
i
i
=1
Przestrze«liniow¡
V
nadciałem
R
ziloczynemskalarnymnazywa¢b¦-
dziemy
przestrzeni¡euklidesow¡
,aprzestrze«liniow¡
V
nadciałem
C
z
iloczynemskalarnymnazywa¢b¦dziemy
przestrzeni¡unitarn¡
.
1
 Twierdzenie1
JesliVjestprzestrzeni¡euklidesow¡ziloczynemskalarnym
(
·|·
)
to:
(i)
8
v
(0
|
v
)=(
v
|
0)=0
,
(ii)
8
u,v
(
u
|
v
+
w
)=(
u
|
v
)+(
u
|
w
)
,
(iii)
je±li
(
u
|
v
)=0
towektoryuivs¡liniowoniezale»ne,
(iv)
8
u,v,k
2
R
(
u
|
kv
)=
k
(
u
|
v
)
,
(v)
8
u,v
(
u
|
v
)
2
¬
(
u
|
u
)(
v
|
v
)
(nierówno±¢Cauchy-Buniakowskiego-Schwartza).
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]