Algebra 1-01 przestrzenie liniowe

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład1
3
operowali±mywektorami.W
zbiorzetychwektorówwprowadzili±mydwadziałania:
(
x,y,z
)+(
x
1
,y
1
,z
1
)=(
x
+
x
1
,y
+
y
1
,z
+
z
1
)
,
k
(
x,y,z
)=(
kx,ky,kz
)
gdzie
k
jestdowolnymelementemciałaliczbrzeczywistych.Zauwa»yli±my
równie»,»edziałaniatemaj¡nast¦puj¡cewłasno±ci:
1.(R
3
,
8
k
2
R
k
(
u
+
v
)=
ku
+
kv
,
3.
8
u
2
R
3
,
8
k,l
2
R(
k
+
l
)
u
=
ku
+
lv
,
4.
8
u
2
R
3
,
8
k,l
2
R
k
(
lu
)=(
kl
)
u
,
5.
8
u
2
R
3
1
u
=
u
.
Mo»emyterazuogólni¢powy»sz¡konstrukcj¦.Wprowad¹mywzbiorzeR
n
=
{
(
x
1
,x
2
,...,x
n
);
x
i
2
R
}
dwadziałania:
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)+(
y
1
,y
2
,...,y
n
)=(
x
1
+
y
1
,x
2
+
y
2
,...,x
n
+
y
n
)
,
k
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)=(
kx
1
,kx
2
,...,kx
n
)
gdzie
k
jestdowolnymelementemciałaR.Mo»nasprawdzi¢,»epodobniejak
poprzedniospełniones¡własno±ci:
1.(R
n
,
8
k
2
R
k
(
u
+
v
)=
ku
+
kv
,
3.
8
u
2
R
n
,
8
k,l
2
R(
k
+
l
)
u
=
ku
+
lv
,
4.
8
u
2
R
n
,
8
k,l
2
R
k
(
lu
)=(
kl
)
u
,
n
1
u
=
u
.
Zauwa»my,»edziałanieliczbyrzeczywistej
k
naci¡g(
x
1
,x
2
,...,x
n
)niejest
działaniemwsensiepodanymnawykładziewpierwszymsemestrze,bonie
działasi¦tuwewn¡trzpewnegozbioru,adziałasi¦liczbamirzeczywistymi
naelementyzezbioruR
n
.Takiedziałanieb¦dziemynazywa¢
działaniem
zewn¦trznym
.Dokładniejdziałaniemzewn¦trznymzbioru
K
nazbiór
V
nazywamyprzyporz¡dkowanieka»dejparze(
k,v
)
2
K
×
V
elementuzbioru
V
,czylidziałaniemzewn¦trznymjestnast¦puj¡cafuncja:
'
:
K
×
V
!
V
zamiastpisa¢
'
(
k,v
)b¦dziemyzwykleu»ywa¢zapisu
kv
pami¦taj¡c,»e
k
jestelementemzbioru
K
,
v
jestelementemzbioru
V
,awynik
kv
jestznów
elementemzbioru
V
.
1
Przestrzenieliniowe
WgeometriianalitycznejwprzestrzeniR
3
,
+)jestgrup¡abelow¡,
2.
8
u,v
2
R
n
,
+)jestgrup¡abelow¡,
2.
8
u,v
2
R
5.
8
u
2
R
Sytuacj¦zpowy»szegoprzykładumo»nauogólni¢.Niech
V
b¦dziezbiorem,w
którymjestwprowadzonedziałaniebinarne+iniech
K
b¦dzieciałem.Wtedy
V
nazywa¢b¦dziemy
przestrzeni¡liniow¡
(lub
wektorow¡
)nadciałem
K
gdywzbiorze
V
wprowadzonejestdziałaniezewn¦trzne(
k,v
)
!
kv
i
spełniones¡warunki:
1.(
V,
+)jestgrup¡abelow¡,
2.
8
u,v
2
V,
8
k
2
Kk
(
u
+
v
)=
ku
+
kv
,
3.
8
u
2
V,
8
k,l
2
K
(
k
+
l
)
u
=
ku
+
lv
,
4.
8
u
2
V,
8
k,l
2
Kk
(
lu
)=(
kl
)
u
,
5.
8
u
2
V
1
u
=
u
,
elementyzbioru
V
nazywa¢b¦dziemywektorami,aelementyciała
K
ska-
larami.Działaniezewn¦trznenazywa¢b¦dziemymno»eniemskalarówprzez
wektory.Ponadtoprzyjmujemykonwencj¦,»ewmno»eniutymskalaryzapi-
sujemyzlewejstrony,awektoryzprawej,np.napis
a
oznacza,»e
jest
skalarem,a
a
jestwektorem.Elementneutralnydodawaniaoznacza¢b¦dzie-
myprzez
0
inazywa¢b¦dziemygowektoremzerowym.
Poznali±myju»napocz¡tkuwykładuprzykładyprzestrzeniliniowych,s¡
toprzestrzenieR
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)+(
y
1
,y
2
,...,y
n
)=(
x
1
+
y
1
,x
2
+
y
2
,...,x
n
+
y
n
)
,
k
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)=(
kx
1
,kx
2
,...,kx
n
)
Aotoinneprzykłady:
1.ZbiórliczbrzeczywistychRjestprzestrzeni¡liniow¡nadciałemliczbwy-
miernychQ(działaniezewn¦trznejestzwykłymdziałaniemmno»enialiczby
wymiernejprzezrzeczywist¡).
2.NiechR
N
oznaczazbiórwszystkichniesko«czonychci¡gówowyrazachrze-
czywistych.Elementytegozbioruzapisywa¢b¦dziemywpostaci:(
x
0
,x
1
,x
2
,...
)
lub(
x
n
)
n
2
N
.Wzbiorzetymwprowadzamydziałania:
(
x
1
,x
2
,x
3
,...
)+(
y
1
,y
2
,y
3
,...
)=(
x
1
+
y
1
,x
2
+
y
2
,x
3
+
y
3
,...
)
,
k
(
x
1
,x
2
,x
3
,...
)=(
kx
1
,kx
2
,kx
3
,...
)
WtedyR
N
ztakokre±lonymidziałaniamijestprzestrzeni¡wektorow¡nad
ciałemliczbrzeczywistych.
3.Niech
K
b¦dziedowolnymciałeminiech
K
[
x
]oznaczazbiórwielomianów
owspółczynnikachzciała
K
.Wtedy
K
[
x
]jestjestprzestrzeni¡liniow¡nad
ciałem
K
,gdziedziałaniamis¡zwykłedziałaniadodawaniawielomianówi
mno»eniawielomianuprzezliczb¦.
2
n
nadciałemR.Ogólniejje±li
K
jestdowolnymciałem
to
K
n
jestprzestrzeni¡liniow¡nadciałem
K
,gdziedziałaniaokre±lones¡
nast¦puj¡co:
4.Niech
C
oznaczazbiórfunkcjici¡głychodziedziniewzbiorzeRwtedy
C
jestprzestrzeni¡liniow¡nadciałemR,gdziedziałaniamis¡dodawanie
funkcjiimno»eniefunkcjiprzezskalar(np.sum¡funkcjisinicosjestfunkcja
f
(
x
)=sin
x
+cos
x
).
Poniewa»(
V,
+)jestgrup¡abelow¡toka»dyelementposiadaelementprze-
ciwny,elementprzeciwnydo
v
oznacza¢b¦dziemyprzez
−
v
imo»emywpro-
wadzi¢wzbiorze
V
działaniebinarnegoodejmowania:
u
−
v
:=
u
+(
−
v
)
Twierdzenie1
NiechVb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałemK.Wtedy:
(i)
kv
=
0
()
k
=0
_
v
=
0
,
(ii)(
−
1)
v
=
−
v.
Dowód
(i)
(
)
)Je±li
k
=0tomamy0
v
=(0+0)
v
=0
v
+0
v
idodaj¡cstronami
wektor
−
0
v
otrzymujemy0
v
=
0
.Podobniemo»napokaza¢,»e
k
0
=
0
.
(
(
)Je±li
kv
=
0
i
k
6
=0toistniejeelement
k
−
1
zatemmo»emynasz¡
równo±¢wymno»y¢stronamiprzez
k
−
1
iotrzymujemy:
k
−
1
(
kv
)=
k
−
1
0
)
(
k
−
1
k
)
v
=
0
)
1
v
=
0
)
v
=
0
(ii)Poniewa»(
V,
+)jestgrup¡toka»dyelementposiadadokładniejeden
elementodwrotny,wi¦cwystarczysprawdzi¢,»e(
−
1)
v
jestelementemod-
wrotnymdo
v
.Rzeczywi±cie:
v
+(
−
1)
v
=1
v
+(
−
1)
v
=(1+(
−
1))
v
=0
v
=0
.
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem
K
.Niepustypodzbiór
W
V
nazywamy
podprzestrzeni¡
przestrzeni
V
je±lispełniones¡nast¦-
puj¡cewarunki:
1.Je±li
u,v
2
W
to
u
+
v
2
W
,
2.Je±li
k
2
K
i
u
2
W
to
ku
2
W
Je±lispełniones¡warunki1.i2.tob¦dziemymówi¢,»ezbiór
W
jestza-
mkni¦tyzewzgl¦dunadodawanieimno»enieprzezskalary.
Uwaga1
Je±liWjestpodprzestrzeni¡przestrzeniVnadciałemKtojest
równie»przestrzeni¡liniow¡nadK.
Przykładypodprzestrzeni:
1.Zbiórzło»onyzwektorów(
x
1
,
0
,...,
0)jestpodprzestrzeni¡przestrzeni
R
3
n
.
2.Zbiórci¡gówzbie»nychjestpodprzestrzeni¡przestrzeniR
N
ci¡gówowyra-
zachrzeczywistych.Rzeczywi±cieje±li(
x
n
)
n
2
N
i(
y
n
)
n
2
N
s¡ci¡gamizbie»nymi
toistniej¡liczby
x
i
y
,»elim
n
!1
x
n
=
x
,lim
n
!1
y
n
=
y
iwtedy:
n
!1
(
x
n
+
y
n
)=lim
n
!1
x
n
+lim
n
!1
y
n
=
x
+
y
zatemci¡g(
x
n
)
n
2
N
+(
y
n
)
n
2
N
jestrównie»zbie»ny.Drugiwaruneksprawdza
si¦analogicznie.
3.Zbiórci¡gówzbie»nychdozerajestpodprzestrzeni¡przestrzenizpunktu
poprzedniego(atak»epodprzestrzeni¡przestrzeniR
N
).
4.Zbiór
K
[
x
]
n
=
{
f
(
x
)
2
K
[
x
];st
f
¬
n
}
wielomianówowspółczynnikachz
ciała
K
,którychstopie«nieprzekraczaustalonejliczby
n
jestpodprzestrze-
ni¡przestrzeni
K
[
x
].
5.Zbiórfunkcjiró»niczkowalnychjestpodprzestrzeni¡przestrzeni
C
.
6.Je±li
V
jestprzestrzeni¡liniow¡nadciałem
K
i
0
jestwektoremzero-
wymto
{
0
}
jestpodprzestrzeni¡przestrzeni
V
.Podprzestrze«t¡nazywamy
podprzestrzeni¡zerow¡.
Je±li
W
jestpodprzestrzeni¡przestrzeni
V
tob¦dziemypisa¢
W<V
.
Niech
U,W<V
wtedyprzez
U
+
W
oznacza¢b¦dziemyzbiórwszystkich
wektorów
u
+
w
,gdzie
u
2
U
,
w
2
W
,wi¦c:
U
+
W
=
{
u
+
w
;
u
2
U,w
2
W
}
Twierdzenie2
Je±liUiWs¡podprzestrzeniamiprzestrzeniVtoU
\
W
iU
+
Ws¡podprzestrzeniamiprzestrzeniV.
Dowód
1.Sprawdzimynajpierw,»e
U
\
W
jestpodprzestrzeni¡.Wynikatoznast¦-
puj¡cegoci¡guimplikacji:
x,y
2
U
\
W
)
x,y
2
U
^
x,y
2
W
)
x
+
y
2
U
^
x
+
yW
)
x
+
y
2
U
\
W
oraz
x
2
U
\
W
)
x
2
U
^
x
2
W
)
kx
2
U
^
kxW
)
kx
2
U
\
W
dlaka»dego
k
2
K
.
2.Sprawdzimy,»e
U
+
W
jestpodprzestrzeni¡.Rzeczywi±cie:
x,y
2
U
+
W
)
x
=
u
+
w,y
=
u
1
+
w
1
)
x
+
y
=
u
+
w
+
u
1
+
w
1
=
u
+
u
1
|{z}
2
W
2
U
+
W
drugiwarunekpodprzestrzenisprawdzasi¦analogicznie.
4
lim
|{z}
2
U
+
w
+
w
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]