Algebra 0-13 wyznaczniki

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład13
Wyznacznikmacierzy
Wzbiorzepermutacji
S
n
okre±lamyfunkcj¦sgn
1
owarto±ciachwzbiorze
{−
1
,
1
}
,nast¦puj¡co:
(
1
,
gdypermutacja
jestparzysta
−
1
,
gdypermutacja
jestnieparzysta
.
sgn(
)=
Niech
A
b¦dziemacierz¡kwadratow¡stopnia
n
owspółczynnikachzciała
K
(
A
2
M
n
(
K
))iniech
A
=[
a
ij
]
n
×
n
.
Wyznacznikiem
macierzy
A
nazy-
wamynast¦puj¡cyelementciała
K
:
X
sgn(
)
a
1
,
(1)
a
2
,
(2)
···
a
n,
(
n
)
.
2
S
n
Suma,któraokre±latanwyznacznikma
n
!składników.Ka»dyskładnikjest
iloczynem
n
elementówpojednymzka»degowierszaika»dejkolumny.Wy-
znacznikmacierzy
A
=[
a
ij
]
n
×
n
oznaczamyprzezdet(
A
)lubprzez
|
A
|
.Cza-
sem,»ebyuwypukli¢stopie«macierzyb¦dziemymówi¢owyznacznikustop-
nia
n
.
Przykład
Obliczymykorzystaj¡czdefinicjiwyznacznikmacierzy2
×
2:
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
A
=
Zbiórpermutacji
S
2
składasi¦zdwóchelementów:
12
12
!
12
21
!
i
=
,
1
=
,
permutacja
i
jestparzysta,apermutacja
1
nieparzysta.Zatem
sgn(
i
)=1
,
sgn(
1
)=
−
1
.
sgn(
)
a
1
,
(1)
a
2
,
(2)
=
sgn(
i
)
a
1
,i
(1)
a
2
,i
(2)
+sgn(
1
)
a
1
,
1
(1)
a
2
,
1
(2)
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
.
Przykład
Obliczymywyznacznikmacierzy3
×
3:
2
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
3
A
=
4
5
1
sgnjestskrótemłaci«skiegosłowasignum(znak)
1
Wtedywprostzdefinicjimamy:
det(
A
)=
P
2
S
2
Zbiórpermutacji
S
3
składasi¦zsze±ciupermutacji:
!
!
!
123
123
123
132
123
321
0
=
,
1
=
,
2
=
,
!
!
!
123
213
123
231
123
312
3
=
,
4
=
,
5
=
Permutacje
0
,
4
,
5
s¡parzyste,apermutacje
1
,
2
,
3
nieparzyste.Mamy
wi¦c:
sgn(
0
)=sgn(
4
)=sgn(
5
)=1
sgn(
1
)=sgn(
2
)=sgn(
3
)=
−
1
Zdefinicjimamy:
det(
A
)=
P
2
S
3
sgn(
)
a
1
,
(1)
a
2
,
(2)
a
3
,
(3)
=
sgn(
0
)
a
1
,
0
(1)
a
2
,
0
(2)
a
3
,
0
(3)
+sgn(
1
)
a
1
,
1
(1)
a
2
,
1
(2)
a
3
,
1
(3)
+
sgn(
2
)
a
1
,
2
(1)
a
2
,
2
(2)
a
3
,
2
(3)
+sgn(
3
)
a
1
,
3
(1)
a
2
,
3
(2)
a
3
,
3
(3)
+
sgn(
4
)
a
1
,
4
(1)
a
2
,
4
(2)
a
3
,
4
(3)
+sgn(
5
)
a
1
,
5
(1)
a
2
,
5
(2)
a
3
,
5
(3)
=
a
11
a
22
a
33
−
a
11
a
23
a
32
−
a
13
a
22
a
31
−
a
12
a
21
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
.
Zadanie
Obliczy¢zdefinicjiwyznacznik:
1214
5002
3006
3245
Rozwi¡zanie
Wyznaczniktenjestsum¡4!=24blokówskładaj¡cychsi¦z
iloczynuczterechelementówpojednymzka»degowierszaika»dejkolumny.
Mo»nazauwa»y¢,»ewi¦kszo±¢ztychblokówb¦dziezawierałazerowi¦cnie
wpływanawyznacznik.Niezeroweblokito:
a
12
a
21
a
34
a
43
,a
12
a
24
a
31
a
43
,a
13
a
21
a
34
a
42
,a
13
a
24
a
31
a
42
Musimyjeszczeustali¢parzysto±¢permutacjiwyst¦puj¡cychwtychblokach
!
,
!
!
!
1234
2143
1234
2413
1234
3142
1234
3412
,
,
,Pierwsza
iostatnias¡parzyste,natomiastdwie±rodkowes¡nieparzyste,zatemwy-
znaczniktenjestrówny:
a
12
a
21
a
34
a
43
−
a
12
a
24
a
31
a
43
−
a
13
a
21
a
34
a
42
+
a
13
a
24
a
31
a
42
=
2
·
5
·
6
·
4
−
2
·
2
·
3
·
4
−
1
·
5
·
6
·
2+1
·
2
·
3
·
2
2
Własno±ciwyznaczników
Twierdzenie1
DladowolnejmacierzykwadratowejAmamy:
det
A
=det
A
T
Dowód
Wynikatozfaktu,»eprawdziwajestnast¦puj¡carówno±¢:
X
sgn(
)
a
1
,
(1)
a
2
,
(2)
···
a
n,
(
n
)
=
X
2
S
n
sgn(
)
a
(1)
,
1
a
(2)
,
2
···
a
(
n
)
,n
.
2
S
n
Równo±¢tajestprawdziwabomo»emyka»dyzblokówuporz¡dkowa¢według
numerówkolumnodpierwszegodoostatniegoimamy
a
1
,
(1)
a
2
,
(2)
...a
n,
(
n
)
=
a
−
1
(1)
,
1
a
−
1
(2)
,
2
...a
−
1
(
n
)
,n
orazsgn(
)=sgn(
−
1
).Zauwa»my,»eje±li
A
=[
a
ij
]i
A
T
=[
b
ij
]to
b
ij
=
a
ji
,
zatemmamy:
det
A
T
=
P
2
S
n
sgn(
)
b
1
,
(1)
b
2
,
(2)
···
b
n,
(
n
)
=
P
sgn(
)
a
(1)
,
1
a
(2)
,
2
···
a
(
n
)
,n
=det
A.
2
S
n
Niech
A
=[
a
ij
],wtedy
A
i
b¦dzieoznacza¢
i
-t¡(dla
i
2{
1
,...,n
}
)ko-
2
3
a
1
i
a
2
i
.
.
.
a
ni
lumn¦macierzy
A
,zatem
A
i
=
4
5
.Macierz
A
mo»emyzatemzapisa¢
wpostaci:
A
=[
A
1
,A
2
,...,A
n
]
.
Twierdzenie2
Dladowolnegok
2
Kidlaka»degoi
2{
1
,...,n
}
,mamy:
det[
A
1
,A
2
,...,kA
i
,...,A
n
]=
k
det[
A
1
,A
2
,...,A
i
,...,A
n
]
Mo»nazauwa»y¢,»eostatnietwierdzeniejestprawdziwedlamno»enia
wierszamacierzyprzezpewnyelementciała
K
.
Zadanie
Pokaza¢,»eje±lijednazkolumnmacierzyjestzerowatowyznacznik
jestrównyzero.
Zadanie
Udowodni¢,»edladowolnego
k
2
K
idlaka»dejmacierzy
A
stopnia
n
mamy:
det(
kA
)=
k
n
det(
A
)
3
Twierdzenie3
Dladowolnychi,j
2{
1
,
2
,...,n
}
,je±lii
6
=
jtomamy:
det[
A
1
,...,A
i
,...,A
j
,...,A
n
]=
−
det[
A
1
,...,A
j
,...,A
i
,...,A
n
]
.
Dowód
Niech
A
=[
a
ij
]wtedymamy:
det[
A
1
,...,A
j
,...,A
i
,...,A
n
]=
X
2
S
n
sgn(
)
a
1
,
(1)
...a
j,
(
j
)
...a
i,
(
i
)
...a
n,
(
n
)
Abyzobaczy¢jakizwi¡zekmatenwyznacznikzwyznacznikiemmacierzy
A
trzebadokona¢transpozycjielementów
a
i,
(
i
)
i
a
j,
(
j
)
.ebytegodokona¢
trzebanasz¡permutacj¦
wymno»y¢przeztranspozycj¦(
(
i
)
,
(
j
))otrzy-
muj¡cpermutacj¦(
(
i
)
,
(
j
))
,atooznaczazmian¦znaku,czylizmian¦
znakuprzyka»dymbloku.
Zadanie
Udowodni¢,»eje±lidwiekolumnymacierzy
A
s¡proporcjonalneto
znaczymamy
A
i
=
kA
j
dlapewnychkolumn
A
i
,
A
j
oraz
k
2
K
todet
A
=0.
Rozwi¡zanie
Je±li
A
i
=
kA
j
tomamy:
det[
A
1
,...,A
i
,...,A
j
,...,A
n
]=det[
A
1
,...,A
i
,...,kA
i
,...,A
n
]=
k
det[
A
1
,...,A
i
,...,A
i
,...,A
n
]=
−
k
det[
A
1
,...,A
j
,...,A
i
,...,A
n
]=
−
k
det[
A
1
,...,A
i
,...,A
i
,...,A
n
]
,
st¡ddet[
A
1
,...,A
i
,...,A
j
,...,A
n
]=0.
Przykład
1 21 4
5 30 6
3
−
10
−
2
3 24 2
=0
Twierdzenie4
DladowolnejmacierzykwadratowejA
=[
A
1
,...,A
k
,...,A
n
]
idladowolnejmacierzykolumnowejB
k
=[
b
i
]
n
×
1
zachodzirówno±¢:
det[
A
1
,...,A
k
+
B
k
,...,A
n
]=det
A
+det[
A
1
,...,B
k
,...,A
n
]
Dowód
Wprostzdefinicjiwyznacznikamamy:
det[
A
1
,...,A
k
+
B
k
,...,A
n
]=
P
2
S
n
sgn(
)
a
1
,
(1)
···
(
a
k,
(
k
)
+
b
k,
(
k
)
)
···
a
n,
(
n
)
=
P
sgn(
)
a
1
,
(1)
···
a
k,
(
k
)
···
a
n,
(
n
)
+
P
2
S
n
sgn(
)
a
1
,
(1)
···
b
k,
(
k
)
···
a
n,
(
n
)
=
2
S
n
det
A
+det[
A
1
,...,B
k
,...,A
n
]
.
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]