Algebra liniowa - skrypt

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. LICZBY ZESPOLONE
1.1 PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNOŚCI
Def. 1.1.1 (liczba zespolona, płaszczyzna zespolona)
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych np. (
x
,
y
), (
u
,
v
), (
a
,
b
). Liczby zespolone oznaczamy
krótko przez
z
,
w
itp. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczmy przez
C
. Mamy zatem

C
def

z

(
x
,
y
)
:
x
,
y

R
.
Uwaga
. Liczbę zespoloną
z
= (
x
,
y
) przedstawiamy na płaszczyźnie w postaci punktu o współrzędnych (
x
,
y
) lub w postaci
wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu w punkcie (
x
,
y
). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy
płaszczyzną zespoloną.
z

będą liczbami zespolonymi.
1. Równość liczb zespolonych określamy przez warunek:
(
x
,
1
)
,
2
y
(
x
,
2
)
def
.
z

z

x

x
oraz
y
y

1
2
1
2
1
2
2. Sumę liczb zespolonych określamy wzorem:
def


.
z

z

x

x
,
y
y

1
2
1
2
1
2
3. Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem:
def


z

z

x
x

y
y
,
y
x
y

x
.
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
Fakt 1.1.3 (własności działań w zbiorze liczb zespolonych)
Niech
z
1
,
z
2
,
z
3
będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy
1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z
1

z
2

z
2

z
1
2. dodawanie liczb zespolonych jest łączne, tzn.
 
z
1

z
2

z
3

z
1

 
z
2

z
2
3. dla każdej liczby zespolonej
z
liczba zespolona
0
def

(
0
0
spełnia równość
z
z

 0
4. dla każdej liczby zespolonej
z

(
y
x
)
liczba

z
def

(
y

x

)
spełnia równość
z

z
( 
0
5. mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z
1

z
2

z
2

z
1
6. mnożenie liczb zespolonych jest łączne, tzn.
   
z
1

z
2

z
3

z
1

z
2

z
3
7. dla każdej liczby zespolonej
z
liczba zespolona
1
def

(
)
spełnia równość
z
z

1
8. dla każdej liczby zespolonej
z

y
,( 
x
)
0
liczba zespolona
1
def



x
,

y


z
x
2

y
2
x
2

y
2
spełnia równość
z

z
1

1
9. mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.
 
z
1

z
2

z
3

z
1

z
2

z
1

z
3
.
Uwaga
. Liczby zespolone 0, –z, 1 oraz
1
wprowadzone odpowiednio w punktach 3, 4, 7 oraz 8 powyższego faktu są
z
jedynymi liczbami o żądanych w tych punktach własnościach. Liczby te nazywamy odpowiednio: elementem neutralnym
dodawania, elementem przeciwnym liczby
z
, elementem neutralnym mnożenia oraz elementem odwrotnym do liczby
z
.
1
Def. 1.1.2 (równość, suma i iloczyn liczb zespolonych)
Niech
z

1
y


Def. 1.1.4 (odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych)
Niech
z
1
,
z
2

C
będą dowolnymi liczbami zespolonymi.
1. odejmowanie liczb zespolonych określamy wzorem:
def
z

z

z

(

z
)
1
2
1
2
2. dzielenie liczb zespolonych określamy wzorem:
z
def
1

z

1
z
, o ile
z
2
 0.
z
1
2
2
Uwaga
. Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)
znane z liczb rzeczywistych obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności prawdziwe są wzory skróconego
mnożenia, wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego itd.
Fakt 1.1.5 (zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych)
Podzbiór
R
zbioru liczb zespolonych
C
złożony z liczb postaci (
x
,0), gdzie
x

R
, ma następujące własności:
1.
(
x
1
,

(
x
2
,

(
x
1

x
2
,
,
2.
(
x
1
,

(
x
2
,

(
x
1

x
2
,
,
3.
(
x
1
,
0
)

(
x
2
,
0
)

(
x
1

x
2
,
)
,
4.
(
x
1
,
)

 ,


x
1


, gdzie
x
2
 0.
(
x
,
)
x
2
2
Uwaga
. Z własności tych wynika, zbiór
R
można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych
R
. Będziemy pisali
x
zamiast
(
x
,0); w szczególności 0 = (0,0) oraz 1 = (1,0).
1.2 POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.2.1 (jednostka urojona)
Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez
i
;
def
i

.
(
0
Fakt 1.2.2 (postać algebraiczna liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:
z

,
iy
, .
Uwaga
. Ten sposób przedstawienia liczb zespolonych nazywamy ich postacią algebraiczną. Nie każde przedstawienie liczby
zespolonej w postaci
x
+
iy
jest jej postacią algebraiczną. Niezbędne jest dodanie warunku
x
,
y

R
.
x

Def. 1.2.3 (część rzeczywista i urojona liczby zespolonej)
Niech
x
+
iy
będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej
z
. Wówczas
1. liczbę
x
nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej
z
, co zapisujemy
Re
z
def

x
,
2. liczbę
y
nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej
z
, co zapisujemy
Im
.
Liczbę zespoloną postaci
iy
, gdzie
y

R
\ {0}, nazywamy liczbą czysto urojoną.
z
def

y
Rys. 1.2.1
Interpretacja geometryczna jednostek rzeczywistej i urojonej oraz liczby zespolonej
w postaci algebraicznej.
2

gdzie
R
 Uwaga
. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie,
odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej
i
, przy warunku
2

1
Fakt 1.2.4 (o równości liczb zespolonych w postaci algebraicznej)
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, tzn.
z

z




z
1

Re
z
2
.
1
2
Im
z

Im
z
1
2
1.3 SPRZĘŻENIE I MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.3.1 (sprzężenie liczby zespolonej)
Sprzężeniem liczby zespolonej
z
=
x
+
iy
, gdzie
x
,
y

R
, nazywamy liczbę zespoloną
z
określoną wzorem:

.
Liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii osiowej względem osi Re
z
.
z
def
x

iy
Fakt 1.3.2 (własności sprzężenia liczb zespolonych)
Niech
z
,
z
1
,
z
2

C
. Wtedy
1.
z
1

z
2

z
1

z
2
5.
zz
Re


2
z
2.
z
1

z
2

z
1

z
2
6.
zz
Im


2
i
z
7.
 
z
3.
z
1

z
2

z
1

z
2
z


z

z
8.
   
Im 
z
Im

z
4.


1



1
, o ile
z
2
 0
z
z
2
2
Uwaga
. Równości podane w punktach 1 i 3 prawdziwe są odpowiednio dla dowolnej liczby składników i czynników.
Def. 1.3.3 (moduł liczby zespolonej)
Modułem liczby zespolonej
z
=
x
+
iy
, gdzie
x
,
y

R
, nazywamy liczbę rzeczywistą |
z
| określoną wzorem:
z
def

x
2

y
2
.
Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł liczby
zespolonej
z
jest odległością punktu
z
od początku układu współrzędnych.
Uwaga
. Moduł różnicy liczb zespolonych
z
1
,
z
2
jest długością odcinka łączącego punkty
z
1
,
z
2
płaszczyzny zespolonej.
Fakt 1.3.4 (własności modułu liczby zespolonej)
Niech
z
,
z
1
,
z
2

C
. Wtedy
1.
z

z


z
5.
z
1

z
2

z
1

z
2
2.
z

z

z

z
6.
z


z
2
1
2
1
2
z
z
7.
Re
z

z
1
3.
1

, o ile
z
2
 0
z
z
2
2
4.
z
1

z
2

z
1

z
2
8.
Im
z

z
Uwaga
. Warunki podane w punktach 2 i 4 powyższego faktu prawdziwe są także dla dowolnej liczby odpowiednio czynników
i składników. Przy obliczaniu ilorazu liczb zespolonych
w
i
z
 0 w
y
godnie jest stosować tożsamość:
w

w
.
z
z
2
3

i
. Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną
x
+
iy
,
gdzie
x
,
y

R
, należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę
x
–
iy
, aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.
Re
1.4 POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.4.1 (argument i argument główny liczby zespolonej)
Argumentem liczby zespolonej
z
=
x
+
iy
 0, gdzie
x
,
y

R
, nazywamy każdą liczbę  
R
spełniającą układ równań:

cos


x
z

.
y


sin



z
Przyjmujemy, że argumentem liczby
z
= 0 jest każda liczba  
R
. Argumentem głównym liczby zespolonej
z
 0 nazywamy
argument  tej liczby spełniający nierówność 0   < 2. Przyjmujemy, że argumentem głównym liczby
z
= 0 jest 0. Argument
główny liczby zespolonej
z
oznaczamy przez
z
arg
. Każdy argument 
liczby zespolonej
z
 0 ma postać



arg 
z
2
k
, gdzie k 
Z
.
Rys. 1.4.1
Argument liczby zespolonej
Rys. 1.4.2
Argument główny liczby zespolonej
Uwaga
. Argumenty liczby zespolonej są miarami
z
są miarami kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi
rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby (rys. 1.4.1). Argument główny liczby zespolonej jest najmniejszą nieujemną miarą
kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby (rys. 1.4.2). Czasem
przyjmuje się, że argument główny liczby zespolonej jest liczbą z przedziału (-,].
Fakt 1.4.2 (postać trygonometryczna liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną
z
można przedstawić w postaci:

,
gdzie
r
 0 oraz  
R
. Liczba
r
jest wówczas modułem liczby
z
, a  jednym z jej argumentów.
z
r

cos
i
 sin


Fakt 1.4.3 (równość liczb zespolonych postaci trygonometrycznej)
Liczby zespolone

z
1

r
1
cos

i
1

sin

1

,

z
2

r
2
cos

i
2

sin

2

, gdzie
r
1
,
r
2
 0 oraz 
1
, 
2

R
, są równe
wtedy i tylko wtedy, gdy:

rr
albo
2

0

rr
oraz
1
2

0

k
1

2

2

dla pewnego
k

Z
.
Fakt 1.4.4 (mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometryczne)
Niech

z
1

r
1
cos

i
1

sin

1

,

z
2

r
2
cos

i
2

sin

2

, gdzie
r
1
,
r
2
 0 oraz 
1
, 
2

R
będą liczbami
zespolonymi. Wtedy
1.
z
1

z
2

r
1
r
2

cos(

1


2
)

i
sin(

1


2
)

2.

1

r
1
cos(



)

i
sin(



)

, o ile
z
2
 0.
z
r
1
2
1
2
2
2
Inaczej mówiąc, przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy. Podobnie, przy dzieleniu
liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy.
Uwaga
. Pierwszy ze wzorów w ostatnim fakcie jest prawdziwy także dla dowolnej liczby czynników.
Fakt 1.4.5 (o argumentach iloczynu, ilorazu, sprzężenia oraz liczby przeciwnej)
Niech
z
,
z
1
,
z
2

C
oraz niech
n

N
. Wtedy
1.
z
1
z
2
)

arg
z
1

arg
z
2

2
k
dla pewnego
k

Z
;
2.
 
z
n

n
arg
z

2
k
dla pewnego
k

Z
;
4

1
z
arg(
arg
3.
arg


z
1



arg
z

arg
z

2
k
dla pewnego
k

Z
, o ile
z
2
 0;
z
1
2
2
4.
 
arg
z


arg
z

2
k
dla pewnego
k

Z
;
5.
arg(

z
)



arg
z

2
k

dla pewnego
k

Z
;
6.
arg

1



arg
z

2
k
dla pewnego
k

Z
, o ile
z
 0;
z
Uwaga
. W rzeczywistości
k
może przyjmować wartości 1.
0 lub –1
; 2.
dowolne
; 3.
0 lub 1
; 4.
1
; 5.
0, 1 lub –1
; 6.
1
.
Fakt 1.4.6 (wzór de Moivre’a)
Niech

z

r
cos
i
 sin


, gdzie
r
 0, 
R
oraz niech
n

N
. Wtedy

z
n

r
n
cos 
n

n
i
sin

.
e
)
Dla 
R
liczbę zespoloną cos +
i
sin oznaczamy krótko przez

e
;
i

e
i


cos
i


sin

.
e
)
Niech , 
1
, 
2
będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech
k
będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy
i

1.
e
i
 

1


2

e

1

e
i

2
5.
e
i


0
 
e

1
6.
e
i

1

e
i

2





2
l

, gdzie
l

Z
2.
e

i

1


2
1
2

e
2
3.
 
e


k
e
ik

7.
e
i


1
4.
e

i
 


2
k

e
i
8.
 

arg
e
i




2
l
dla pewnego
l

Z
Fakt 1.4.9 (postać wykładnicza liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną
z
można zapisać w postaci wykładniczej, tj. w postaci
i
re
Fakt 1.4.10 (o równości liczb zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech
r
1
,
r
2
 0 oraz 
1
, 
2

R
. Wówczas
0
e
i


r
e
i

2

r

r

albo
r
oraz

r

0

k



2

, gdzie
k

Z
.
1
2
1
2
1
2
1
2
Fakt 1.4.11 (działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech
z

,
e
i
z

,
e
i
1
z

, gdzie
r
,
r
1
,
r
2
 0 oraz , 
1
, 
2

R
, będą liczbami zespolonymi oraz niech
k
e
i
2
1
2
będzie liczbą całkowitą. Wtedy
1.
z

re

i
4.
z

k
r
k
e
ik

2.

z

re
i
( 

)
5.
z

z

r
r
e
i
(

1

2
)
1
2
1
2
3.
1

1
e

i

, o ile
z
 0
6.
z
1

r
1
e
i
(
 
1

2
)
, o ile
z
2
 0
z
r
z
r
2
2
1.5 PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH
Def. 1.5.1 (pierwiastek z liczby zespolonej)
Pierwiastkiem stopnia
n

N
z liczby zespolonej
z
nazywamy każdą liczbę zespoloną
w
spełniającą równość:
z
w
n

.
5




i
Def. 1.4.7 (symbol
def
Fakt 1.4.8 (własności symbolu
i
i
i
i
z

,
gdzie
r
 0, 
R
. Liczba
r
jest wówczas modułem liczby
z
, a  jej argumentem.
r
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]