AlmaMaster - Drgania dyskretnych ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 1
13.

13. DRGANIA HARMONICZNE UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU
STOPNIACH SWOBODY
13.1. Drgania własne nietłumione
W analizie drgań rozpatrywać będziemy układy, w których masa rozłożona jest w sposób dyskretny.
Układ ciągły modelujemy w sposób określony jako granulacja (podział) masy całego układu do pewnej liczby
punktów masowych (rys. 13.1).
P
(t)
r
P
(t)
r+1
m
r-1
m
r
m
r+1
w
r
(t)
Rys. 13.1. Układ o dyskretnym rozkładzie masy
Przemieszczenie układu (wychylenie od położenia równowagi) opisywać będziemy poprzez przemieszczenia
punktów masowych.
q
r

t
=
w
r

t

(13.1)
Dominującą częścią w przypadku ugięć są przemieszczenia pionowe, dlatego też pominiemy w naszych
rozważaniach przesunięcia poziome (wzdłuż osi pręta). Jeżeli działają siły zmienne w czasie układ będzie
quasistatyczny. Siły
P
r
(
t
) reprezentują dynamiczne oddziaływanie sił bezwładności oraz zewnętrzne obciążenia
dynamiczne.
Dowolne przemieszczenie, zgodnie z zasadą superpozycji skutków wynosi:
R
w
r

t
=
∑
j
=
1
P
j

t
⋅
rj
(13.2)
gdzie:
δ
rj
- przemieszczenie pionowe w punkcie
r
wywołane siła jedynkową działającą w punkcie
j
,
P
j
(
t
) - siła dynamiczna działająca w punkcie
j.
Dla przypadku drgań własnych obciążenie dynamiczne ogranicza się do sił bezwładności:
P
j

t
=−
m
j
⋅
¨
w
j

t

(13.3)
Można zatem zapisać, że przemieszczenie pierwszej masy jest równe:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
P(t)
r-1
Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 2
w
1

t
=−
m
1
⋅
¨
w
1

t
⋅
11
−
m
2
⋅
¨
w
2

t
⋅
12
−
m
1
⋅
¨
w
1

t
⋅
13
−
...
−
m
R
⋅
¨
w
R

t

1 R
Wektor przemieszczeń wszystkich punktów możemy przedstawić w zapisie macierzowym:
{
w
}=−[
F
]⋅[
M
]{
¨
w
}
(13.4)
gdzie:
[
F
] - macierz podatności,
[
M
] - diagonalna macierz mas.
Wymiar macierzy zależy od stopnia swobody dynamicznej układu, czyli liczby niezależnych przemieszczeń
punktów masowych.
[
w
1

t

w
2

t

w
3

t

...
]
=−
1

[

11

12

13
...

21

22

23
...

31

32

33
...
... ... ... ...
]
⋅
[
m
1
0 0 ...
0 m
2
0 ...
0 0 m
3
...
... ... ... ...
]
⋅
[
¨
w
1

t

¨
w
2

t

¨
w
3

t

...
]
(13.5)
Układ równań różniczkowych (13.5) ma rozwiązanie ogólne postaci:
w
r

t
=
W
r
⋅
e
−
i

t
gdzie
W
r
jest amplitudą przemieszczenia węzła
r
.
A zatem przechodząc do rozwiązań rzeczywistych, po odrzuceniu części urojonej można zapisać:
w
r

t
=
W
r
⋅
sin

t
(13.6)
Druga pochodna po czasie z funkcji przemieszczenia wynosi:
¨
w
r

t
=−
2
W
r
⋅
sin

t
(13.7)
Po przekształceniu równania macierzowego (13.4)
[
F
]⋅[
M
]{
¨
w
}{
w
}={
0
}
(13.8)
podstawieniu zależności (13.6) i (13.7) i podzieleniu równań obustronnie przez
sin
ωt
otrzymujemy:
−
2
[
F
]⋅[
M
]{
W
}{
W
}=
{
0
}
(13.9)
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 3
Ostatecznie po przekształceniach dochodzimy do układu równań:
{
[
F
]⋅[
M
]−
1

2
[
I
]
}
{
W
}=
{
0
}
(13.10)
gdzie {
W
} - wektor amplitud przemieszczeń,
[
I
] - macierz jedynkowa,
[
I
]=
[
1 0 0 ...
0 1 0 ...
0 0 1 ...
... ... ... ...
]
Układ równań jednorodnych (13.10) posiada rozwiązanie:
•
trywialne, gdy
W
r
=0,
•
nietrywialne, wtedy gdy wyznacznik układu jest równy zero:
det
∣
[
F
]⋅[
M
]−
1

2
[
I
]
∣
=
0
(13.11)
Z warunku (13.11) otrzymujemy równanie charakterystyczne, nazywane też wiekowym. Przyrównywanie
wyznacznika układu równań do zera pozwala wyliczyć wartości
ω
r
, częstości kołowe drgań własnych.
Otrzymamy tyle wartości
ω
r
, ile wynosił rząd macierzy. Każdej częstości kołowej drgań własnych odpowiada
zestaw amplitud
W
r
. Z układu równań jednorodnych nie można określić wartości amplitud, można ustalić
tylko proporcje pomiędzy nimi.
Obliczenia rozpoczyna się od przedstawienia konstrukcji w formie modelu masowego, dla którego określić
trzeba niezależne przemieszczenia. Po obliczeniu współczynników
δ
ik
z równania (13.11) wyznaczamy
wszystkie częstości kołowe drgań własnych
ω
.
Granulacja masy jest znakomitym sposobem, wykorzystującym podstawowe założenia i podejście metody sił,
czyli zasadę superpozycji, oraz współczynniki podatności
δ
ik
.
Algorytm obliczeń przybliżymy rozwiązując następujący przykład. Rozpatrzmy układ jak na poniższym
schemacie.
EJ=const
m
m
m
l
6
l
3
l
3
l
6
l
Rys. 13.2. Schemat belki wolnopodpartej o dyskretnym, symetrycznym rozkładzie masy
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
 Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 4
Taki układ ma trzy stopnie swobody dynamicznej, zatem posiada trzy częstości kołowe drgań własnych.
Każda z mas może przemieszczać się prostopadle do osi belki. Wartości tych przemieszczeń, zgodnie ze
wzorem (11.4) opisują zależności:
w
1

t
=−
m
⋅
¨
w
1

t
⋅
11
−
m
⋅
¨
w
2

t
⋅
12
−
m
⋅
¨
w
3

t
⋅
13
w
2

t
=−
m
⋅
¨
w
1

t
⋅
21
−
m
⋅
¨
w
2

t
⋅
22
−
m
⋅
¨
w
3

t
⋅
23
w
3

t
=−
m
⋅
¨
w
1

t
⋅
31
−
m
⋅
¨
w
2

t
⋅
32
−
m
⋅
¨
w
3

t
⋅
33
Równania różniczkowe możemy wyliczyć przyjmując postać funkcji rozwiązującej
w
r

t
=
A
r
⋅
sin

t
dla której druga pochodna po czasie wynosi:
¨
w
r

t
=−
2
A
r
⋅
sin

t
Po podstawieniu i uproszczeniu (podzielenie przez
sin ωt
) otrzymujemy równania
A
1
=
m
⋅
2
⋅
11
⋅
A
1

m
⋅
2
⋅
12
⋅
A
2

m
⋅
2
⋅
13
⋅
A
3
A
2
=
m
⋅
2
⋅
21
⋅
A
1

m
⋅
2
⋅
22
⋅
A
2

m
⋅
2
⋅
23
⋅
A
3
A
3
=
m
⋅
2
⋅
31
⋅
A
1

m
⋅
2
⋅
32
⋅
A
2

m
⋅
2
⋅
33
⋅
A
3
które po uporządkowaniu tworzą układ równań jednorodnych:

m
⋅
2
⋅
11
−
1

⋅
A
1

m
⋅
2
⋅
12
⋅
A
2

m
⋅
2
⋅
13
⋅
A
3
=
0
m
⋅
2
⋅
21
⋅
A
1


m
⋅
2
⋅
22
−
1

⋅
A
2

m
⋅
2
⋅
23
⋅
A
3
=
0
m
⋅
2
⋅
31
⋅
A
1

m
⋅
2
⋅
32
⋅
A
2


m
⋅
2
⋅
33
−
1

⋅
A
3
=
0
(13.12)
Aby obliczyć współczynniki macierzy podatności
δ
ik
, narysujmy wykresy momentów w stanach jedynkowych:
P
1
=1
M
1
5
l
36
l
12
l
36
l
6
l
3
l
3
l
6
Rys. 13.3. Stan P
1
= 1
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 5
P
2
=1
M
2
l
12
l
4
l
12
l
6
l
3
l
3
l
6
Rys. 13.4. Stan P
2
= 1
P
3
=1
M
3
l
36
l
12
5
l
36
l
6
l
3
l
3
l
6
Rys. 13.5. Stan P
3
= 1
Współczynniki
δ
ik
wyznaczamy mnożąc odpowiednie wykresy (rys. 13.3, 13.4, 13.5)
EJ

11
=
EJ

33
=
1
2
⋅
l
6
⋅
5 l
36
⋅
2
3
⋅
5 l
36

1
2
⋅
5 l
6
⋅
5 l
36
⋅
2
3
⋅
5 l
36
=
150
⋅
l
3
23328
=
25
⋅
l
3
3888
EJ

22
=
2
⋅
1
2
⋅
l
2
⋅
l
4
⋅
2
3
⋅
l
4
=
l
3
48
=
81
⋅
l
3
3888
EJ

12
=
EJ

21
=
EJ

23
=
EJ

32
=
1
2
⋅
l
6
⋅
5 l
36
⋅
2
3
⋅
l
12

1
2
⋅
l
3
⋅
5 l
36

3
⋅
12

3
⋅
4


2
⋅
3
⋅
12

3
⋅
4

3
⋅
12


2
⋅
l
2
⋅
l
12
⋅
2
3
⋅
l
4
=

5
7776

25
7776

21
7776

27
7776

⋅
l
3
=
39
⋅
l
3
3888
EJ

13
=
EJ

31
=
2
⋅
1
2
⋅
l
6
⋅
5 l
36
⋅
2
3
⋅
l
36

1
2
⋅
2 l
3
⋅
5 l
36

3
⋅
36

3
⋅
5 l
36


2
⋅
2
3
⋅
36

3
⋅
5 l
36

1
3
⋅
l
36

=
=

10
23328

70
23328

22
23328

⋅
l
3
=
17
⋅
l
3
3888
Jeżeli podstawimy do równań (13.12) otrzymane wartości, a następnie pomnóżmy obie strony równania przez
3888
EJ
i podzielimy prze
ml
3
ω
2
uzyskamy układ:
[

25
−

39 17
39

81
−

39
17
39

25
−

]
⋅
[
A
1
A
2
A
3
]
=
{
0
}
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater

1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]