Algebramat

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
AlgebraI
wykładz¢wiczeniamidlastudentówIIrokumatematyki
GrzegorzBobi«ski
WydziałMatematykiiInformatykiUMKwToruniu
Toru«2005
Spistre±ci
RozdziałI.Pier±cienie 3
1.1.Działaniawzbiorach 3
1.2.Pier±cienie—podstawowedefinicje 6
1.3.Teoriapodzielno±ciwdziedzinachcałkowito±ci 11
1.4.Pier±cieniewielomianóworazciałaułamków 17
1.5.Teoriapodzielno±ciwpier±cieniachwielomianów 22
1.6.Twierdzeniaoizomorfizmie 30
RozdziałII.Grupy 35
2.1.TwierdzenieLagrange’a 35
2.2.Grupyilorazowe 39
2.3.Twierdzeniaoizomorfizmie 43
2.4.Grupycykliczne 46
2.5.Działaniagrupnazbiorach 50
2.6.TwierdzeniaSylowa 54
1
ROZDZIAŁI
Pier±cienie
Dobrzeznanyfaktzteoriiliczb,zwanyZasadniczymTwierdzeniem
Arytmetyki,mówi,»eka»d¡liczb¦całkowit¡wi¦ksz¡od1mo»naprzed-
stawi¢jednoznacznie(zdokładno±ci¡doporz¡dkuczynników)wpo-
staciiloczynupot¦gparamiró»nychliczbpierwszych.Podobnie,ka»dy
unormowanywielomianjednejzmiennejstopniadodatniegonadcia-
łemliczbrzeczywistychjestiloczynemunormowanychwielomianówli-
niowychoraznierozkładalnychunormowanychwielomianówstopnia2,
przyczymponownieprzedstawienietojestjednoznacznezdokładno-
±ci¡dokolejno±ciczynników.Znalezieniewspólnegouzasadnieniaobu
powy»szychfaktóworazuogólnienieichnanowesytuacjib¦dziestano-
wiłogłówn¡motywacj¡dlarozwa»a«po±wi¦conychpier±cieniom.
1.1.Działaniawzbiorach
Wtymparagrafierozwa»ymyabstrakcyjnewłasno±cidziała«w
zbiorachorazwprowadzimyoznaczeniaprzydatnewpó¹niejszychroz-
wa»aniachpo±wi¦conychpier±cieniomigrupom.
1.1.1.
Działaniemwzbiorze
Xnazywamyka»d¡funkcj¦:X×
X!X.Obrazpary(a,b)przydziałaniuzapisujemyjakoab,tzn.
ab=(a,b).Dlaoznaczeniaiterowanegozastosowaniadziałaniasto-
sujemynotacj¦nawiasow¡,awi¦cnaprzykłada(bc)=(a,(b,c)).
Działanienazywamy
ł¡cznym
,je±li
a(bc)=(ab)c
dladowolnycha,b,c2X.Działanienazywamy
przemiennym
,je±li
ab=ba
dladowolnycha,b2X.Dodawanieimno»eniewzbiorzeliczbcałko-
witychs¡przykładamidziała«,któres¡ł¡czneiprzemienne.Odejmo-
wanieliczbcałkowitychniejestanił¡czneaniprzemienne.Przykła-
demdziałania,którejestł¡czne,aleniejestprzemienne,jestmno»e-
niemacierzykwadratowychstopnia2.Ł¡czno±¢działaniaoznacza
wpraktyce,»estosowanienawiasówjestzb¦dne.NiepustyzbiórXz
działaniem,którejestł¡czne,b¦dziemynazywa¢
półgrup¡
.Gdydo-
datkowodziałaniejestprzemienne,tomówimyo
półgrupieabelowej
(
przemiennej
).
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]