Algebra z teorią liczb [S.Cynk]

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Notatkidowykadu
AlgebrazTeoriąLiczb
InstytutMatematyki
UniwersytetuJagiellońskiego
Semestrletni2006/zimowy2007
Sawomir Cynk
e-mail: cynk@im.uj.edu.pl
ROZDZIAŁ I
Teoria Grup
1. Struktury algebraiczne
Definicja I.1.
Działaniem wewnętrznym w zbiorze A
nazywamy dowolne odwzorowanie
h
:
A
×
A
−→
A
iloczynukartezjańskiego
A
×
A
wzbiór
A
,czyliodwzorowanieprzyporządkowująceparzeelementówzbioru
A
element
tego zbioru.
Poniższa tabelka zawiera przykłady działań znanych z arytmetyki
N N
+
Z Q
∗
Q
+
Q R
∗
R
+
R
x
+
y
+ + + + + + + + +
x
−
y
− −
+
− −
+
− −
+
x
y
+ + + + + + + + +
x/y
− − −
+ +
−
+ +
−
x
y
+ +
− −
+
− −
+
−
Definicja I.2. Działanie wewnętrzne
h
:
A
×
A
−→
A
nazywamy
przemiennym
, jeżeli dla dowolnych elementów
a,b
∈
A
mamy
h
(
a,b
)=
h
(
b,a
)
.
Działanie
h
nazywamy
łącznym
, jeżeli dla dowolnychelementów
a,b,c
∈
A
mamy
h
(
a,h
(
b,c
)=
h
(
h
(
a,b
)
,c
)
.
Element
o
∈
A
nazywamy elementem neutralnym działania
h
, jeżeli dla dowolnego
a
∈
A
zachodzi
h
(
o,a
)=
h
(
a,o
)=
a.
Element
a
′
∈
A
nazywamy
elementem odwrotnym do a
ze względu na działanie
h
z elementem neutralnym
o
, jeżeli
h
(
a,a
′
)=
h
(
a
′
,a
)=
o.
Lemat I.1.
(a) Dla dowolnego działania istnieje co najwyżej jeden element neutralny. (b) Jeżeli działanie h jest
łączne to dowolny element a
∈
A ma co najwyżej jeden element odwrotny.
Dowód. (a) Załóżmy, że
e
1
i
e
2
są elementami neutralnymi, wtedy
e
1
=
e
1
e
2
=
e
2
.
(b) Załóżmy, że
a
′
i
a
′′
są elementami odwrotnymi do
a
. Wtedy
a
′
=
a
′
e
=
a
′
(
aa
′′
)=(
a
′
a
)
a
′′
=
a
′′
.
1
2
1. Struktury algebraiczne
Uwaga. Zwykle działanie oznaczamy symbolem mnożenia (zapis multiplikatywny), i wtedy element neutralny
oznaczamyprzez1,aelementodwrotnyprzez
a
−
1
,jeżelidziałaniejestprzemienne,toczęsto(dlapodkreślenia)używa
sieznakudodwania(zapisaddydtwny),wtedyelementneutralnyoznaczasięprzez0,aelementodwrotny(przeciwny),
przez
−
a
.
Łączność działania oznacza, że wynik mnożenia trzech elementów nie zależy od kolejności w jakiej wykkonujemy
mnożenie (kolejność działań) natomiast przemienność oznacza, że wynik nie zależy od kolejności czynników.
Jeśli działanie jest łączne to dla dowolnychelementów
a
1
,...,a
n
∈
A
mamy dobrze określony iloczyn
a
1
a
n
,
przyjmując więc
a
1
=
a
n
=
a
otrzymujemy (dobrze określoną) potęgę
a
n
=
a
a
n
razy
.
PrzykadI.2. Niech
X
będziedowolnymzbiorem,przykłademdziałanialącznegowzbiorze
A
=
X
X
=Func(
X,X
)=
{
f
:
X
−→
X
}
jest operacja składania odwzorowań. Jeżeli
X
jest zbiorem z dodatkową strukturą, to zamiast zbio
ru eszystkich odwzorowań możemy wziąć podzbiór złożony z odwzorowań zachowujących tę strukturę. Przykłady,
izometrie podzbioru płaszczyzny.
Przykładami naturalnego działania, które nie jest łączne są potęgowanie, iloczyn wwektorowy w R
3
.
Przykładami działań, które są łączne i przemienne są iloczyn i suma mnogościowa oraz różnica symetryczna
(ćwiczenia).
Definicja I.3.
Działaniem zewnętrznym w zbiorze A
nazywamy dowolne odwzorowanie
g
:
F
×
A
−→
A
iloczynu kartezjańskiego
F
×
A
w zbiór
A
, elementy zbioru
F
nazywamy
operatorami
.
PrzykadI.3. Przykłademdziałaniazewnętrznegojestmnożeniewektoraprzezskalar,innyprzykładtomnożenie
funkcji o wartościachrzeczywistych zadanych na danym zbiorze
X
przez liczby rzeczywiste
R
×
Func(
X,
R)
∋
(
r,f
)
−→
r
f
∈
Func(
X,
R)
.
Definicja I.4. Działanie zewnętrzne
g
:
F
×
A
−→
A
nazywamy
rozdzielnym względem działania wewnętrznego
h
:
A
×
A
−→
A
jeżeli dla dowolnych elementów
a,b
∈
A
i dowolnego
p
∈
F
mamy
g
(
p,
(
h
(
a,b
))=
h
(
g
(
p,a
)
,g
(
p,b
))
Działaniezewnętrzne
g
:
F
×
A
−→
A
nazywamy
łącznymwzględem lącznegodziałania wewnętrznegoh
:
F
×
F
−→
F
jeżeli dla dowolnychelementów
p,q
∈
F
i dowolnego
a
∈
A
mamy
g
(
h
(
p,q
)
,a
)=
g
(
p,g
(
q,a
))
.
Działanie zewnętrzne
g
1
:
F
1
×
A
−→
A
i
g
2
:
F
2
×
A
−→
A
nazywamy
przemiennymi
, jeżeli dla dowolnych
p
∈
F
1
,q
∈
F
2
,a
∈
A
mamy
g
1
(
p,g
2
(
q,a
))=
g
2
(
q,g
1
(
p,a
))
.
Definicja I.5.
Struktura algebraiczną określona na zbiorze A
nazywamy układ
(
A,F
1
,...,F
m
;
h
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
m
)
złożony ze zbioru
A
, pewnej liczby działań wewnętrznych
h
i
:
A
×
A
−→
A
(
i
= 1
,...,n
) i pewnej liczby działań
zewnętrznych
g
j
:
F
j
×
A
−→
A
(
j
=1
,...,m
).
Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007
Rozdział I. Teoria Grup
3
Przykładami struktur algebraicznychsą grupa, ciało, przestrzeń wektorowa.
Relacją równoważnościw zbiorze
A
jest relacja: zwrotna, przechodnia i symetryczna.
DefinicjaI.6. Relacjęrównoważności
R
wzbiorze
A
nazywamy
zgodną z działaniem wewnętrznym h
:
A
×
A
−→
A
jeżeli dla dowolnych
a,b,a
′
,b
′
∈
A
zachodzi
(
a,a
′
)
∈R
,
(
b,b
′
)
∈R⇒
(
h
(
a,b
)
,h
(
a
′
,b
′
))
∈R
.
Relację równoważności
R
w zbiorze
A
nazywamy
zgodną z działaniem zewnętrznym g
:
F
×
A
−→
A
jeżeli dla
dowolnych
a,a
′
∈
A,p
∈
F
zachodzi
(
a,a
′
)
∈R⇒
(
g
(
p,a
)
,g
(
p,a
′
))
∈R
.
Relację równoważności
R
w zbiorze
A
nazywamy
zgodną ze strukturą
(
A,F
1
,...,F
m
;
h
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
m
) jeżeli jest zgodna z każdym działaniem wewnętrznym i zewnętrznym struktury.
Jeżeli
R
jestrelacjąrównoważnościowąw
A
,tozbiórklasabstrakcjitejrelacjioznaczamyprzez
A/
R
.Jeżelirelacja
R
jestzgodnazdziałaniemwewnętrznym
h
:
A
×
A
−→
A
,towzbiorzeklasabstrakcji
A/
R
możemyokreślićdziałanie
wewnetrzne
h
∗
:
A/
R×
A/
R
:
−→
A/
R
za pomocą wzoru
h
∗
([
a
]
,
[
b
])=[
h
(
a,b
)]
,
dla dowolnych
a,b
∈
A.
Podobnie jeżeli relacja
R
jest zgodna z działaniem zewnętrznym
g
:
F
×
A
−→
A
, to w zbiorze klas abstrakcji
A/
R
możemy określić działanie zewnetrzne
g
∗
:
F
×
A/
R
:
−→
A/
R
za pomocą wzoru
g
∗
(
p,
[
a
])=[
g
(
p,a
)]
,
dla dowolnych
p
∈
F,a
∈
A.
Propozycja I.4.
Działania indukowane sa poprawnie określone.
Dowód. Należy sprawdzić niezależność od wyboru reprezentantów. Dla działania wewnętrznego, niech [
a
] =
[
a
′
] oraz [
b
] = [
b
′
]. Wtedy mamy (
a,a
′
)
∈ R
oraz (
b,b
′
)
∈ R
, ze zgodnośc relacji z działaniem otrzymujemy
(
h
(
a,b
)
,h
(
a
′
,b
′
))
∈R
czyli [
h
(
a,b
)]=[
h
(
a
′
,b
′
)], co miel;iśmy udowodnić.
Definicja I.7. Jeżeli
R
jest relacją równoważnościową w
A
zgodną ze strukturą
(
A,F
1
,...,F
m
;
h
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
m
) to strukturę (
A/
R
,F
1
,...,F
m
;
h
∗
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
∗
m
) nazywamy
strukturą ilo
razową
.
Przykad I.5. Relacja
R
:=
{
(
a,b
)
∈
Z:
a
≡
b
mod
n
}
jest relacją równoważności zgodną z dodawaniem,
strukturę ilorazową oznaczamy Z
n
(reszty modulo
n
z dodawaniem).
Definicja I.8. Jeżeli sruktury algebraiczne (
A,F
1
,...,F
m
;
h
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
m
) oraz
(
A
′
,F
1
,...,F
m
;
h
′
1
,...,h
′
n
,g
′
1
,...,g
′
m
) są strukturami w
A
mają równą liczbę działań i te same zbiory operatorów,to
odwzorowanie Φ:
A
−→
A
′
nazywamy
homomorfizmem
jeżeli
h
′
i
(Φ(
a
)
,
Φ(
b
))=Φ(
h
i
(
a,b
))
,
dla
a,b
∈
A,i
=1
,...,n,
g
′
i
(
p,
Φ(
a
))=Φ(
g
i
(
p,a
))
,
dla
a
∈
A,p
∈
F,i
=1
,...,n.
HomomorfizmΦ:
A
−→
A
′
nazywamy
izomorfizmem
,jeżeliodwzorowaniemΦjestbijekcją,aodwzorowaniemodwrot
nejestrównieżhomomorfizmem.Homomorfizmstrukturywsiebienazywamy
endomorfizmem
,natomiastendomorfizm,
który jest izomorfizmem nazywamy
automorfizmem
.
Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007
4
2. Grupy
Propozycja I.6.
Dla dowolnej struktury
(
A,F
1
,...,F
m
;
h
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
m
)
i zgodnej z nią relacji równoważ
nościowej
R
odzworowanieilorazowe A
∋
a
−→
[
a
]
∈
A/
R
jesthomomorfizmemstruktury
(
A,F
1
,...,F
m
;
h
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
m
)
na strukturę ilorazową
(
A/
R
,F
1
,...,F
m
;
h
∗
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
∗
m
)
.
Definicja I.9. Podzbiór
B
⊂
A
nazywamy zamkniętym ze względu na działanie wewnętrzne
h
:
A
×
A
−→
A
jeżeli
h
(
G
×
B
)
⊂
, w zbiorze
B
możemy wtedy wprowadzić działanie indukowane
h
|
B
×
B
:
B
×
B
−→
B
.
Podobniezbiór
B
nazywamyzamkniętymzewzględunadziałaniezewnętrzne
g
:
F
×
A
−→
A
,jeżeli
g
(
F
×
B
)
⊂
B
,
w zbiorze
B
możemy wtedy wprowadzić działanie indukowane
h
|
F
×
B
:
F
×
B
−→
B
.
Jeżeli(
A,F
1
,...,F
m
;
h
1
,...,h
n
,g
1
,...,g
m
)jeststrukturaalgebraiczną,
B
⊂
A
jestzbioremzamkniętymzewzglę
duna wszystkie działania
h
i
,g
j
to strukturęnastępującąalgebraiczną(
B,F
1
,...,F
m
;
h
1
|
B
×
B,...,h
n
|
B
×
B,g
1
|
F
×
B,...,g
m
|
F
×
B
) nazywamy struktura indukowaną.
Przykad I.7. Podzbiór N
⊂
Z nie jest zamknięty ze względu na odejmowanie.
2. Grupy
Definicja I.10. (1)
Półgrupą
nazywamy zbiór (niepusty) z działaniem łącznym.
(2)
Monoidem
nazywamy półgrupę, która zawiera element neutralny.
(3)
Grupą
nazywamy monoid, w którym każdy element posiada element odwrotny.
(4)
Grupą przemienną (abelową)
nazywamy grupę, w której działanie jest przemienne.
PrzykadI.8. (1)Zbiórliczbcałkowitych(odp.wymiernych,rzeczywistych,zespolonych)zdziałaniemdodawania
jest grupą.
(2) Zbiór Q
+
, (odp. Q
∗
,
R
+
,
R
∗
,
C
+
,
C
∗
) jest grupą z mnożeniem.
(3) Zbiór Z
n
reszt modulo
n
z dodawaniem jest grupą.
(4) Zbiór Z
n
reszt modulo
n
względnie pierwszych z
n
jest grupą z mnożeniem.
(5) Zbiór
M
(
n,m
;R) jest grupą z dodawaniem.
(6) Zbiór
GL
(
n,
R):=
{
A
∈
M
(
n,n
;R):det
A
=0
}
jest grupą z mnożeniem.
Liniowa
(7) Zbiór
GL
+
(
n,
R):=
{
A
∈
M
(
n,n
;R):det
A
>
0
}
jest grupą z mnożeniem.
Orientacji
(8) Zbiór
SL
(
n,
R):=
{
A
∈
M
(
n,n
;R):det
A
=1
}
jest grupą z mnożeniem.
Specjalna liniowa
(9) Zbiór
SL
(
n,
Z):=
{
A
∈
M
(
n,n
;Z):det
A
=1
}
jest grupą z mnożeniem.
(10) Zbiór
O
(
n
):=
{
A
∈
M
(
n,n
;Z):
A
t
A
=
A
A
t
= I
}
jest grupą z mnożeniem.
Ortogonalna
(11) Zbiór
SO
(
n
):=
{
A
∈
O
(
n
):det
A
=1
}
jest grupą z mnożeniem.
Specjalna ortogonalna
(12) Zbiór
U
(
n
):=
{
A
∈
M
(
n,n
;C):
A
t
A
=
A
A
t
= I
}
jest grupą z mnożeniem.
Unitarna
(13)Zbiór
SU
(
n
):=
{
A
∈
U
(
n
):det
A
=1
}
jest grupą z mnożeniem.
Specjalna unitarna
(14) Zbiór bijekcji
Bij
(
X
) zbioru
X
na siebie jest grupą ze składaniem.
(15) Zbiór permutacji Σ
n
zbioru
n
elementowego jest grupą z mnożeniem.
Grupa symetryczna
. Uwaga Σ
n
=
Bij
(
{
1
,...,n
}
).
(16) Zbiór
D
n
symetrii
n
–kąta foremnego (oznaczany
D
n
, czasammi
D
2
n
), jest grupą ze składaniemzwaną grupą
gihedralną.
Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007
[ Pobierz całość w formacie PDF ]