Algebra dowody1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. Równo
Ļę
która pojawiła si
ħ
na
ę
wiczeniach:
A
Ì
B
¼
A
\
B
=
f
Dowód nie wprost: zakładamy,
Ň
e ró
Ň
nica A\B NIE jest zbiorem pustym. Wtedy
A
\
B
¹
f
Û
$
x
Î
A
\
B
Û
$
x
:
x
Î
A
Ù
x
Ï
B
Ale z definicji inkluzji zbiorów mamy
A
Ì
B
Û
(
x
Î
A
¼
x
Î
B
)
Û
x
Î
A
Ù
x
Î
B
co daje nam sprzeczno
Ļę
B
Î
B
Ù
x
Ï
a to ko
ı
czy dowód nie wprost.
2. I prawo de Morgana dla zbiorów:
Niech T b
ħ
dzie zbiorem indeksów a X przestrzeni
Ģ
. Wtedy
(
1
A
t
)'
=
8
A
t
'
t
Î
T
t
Î
T
Udowodnimy to prawo pokazuj
Ģ
c,
Ň
e
((
1
A
t
)'
Ì
8
A
t
'
)
Ù
(
8
A
'
Ì
(
1
A
t
)'
)
t
Î
T
t
Î
T
Î
T
t
Î
co wynika z definicji równo
Ļ
ci zbiorów:
)
A
=
B
Û
(
A
Ì
B
)
Ù
(
B
Ì
A
Poka
Ň
emy,
Ň
e je
Ļ
li x nale
Ň
y do lewej strony równo
Ļ
ci to musi nale
Ň
e
ę
te
Ň
do prawej:
1
1
1
x
Î
(
A
t
)'
Û
x
Î
X
\
(
A
t
)
Û
x
Î
X
Ù
x
Ï
A
t
Û
t
Î
T
t
Î
T
Î
T
Û
x
Î
X
Ù
$
t
0
Î
T
:
x
Ï
A
t
0
Û
x
Î
X
Ù
x
Î
A
t
0
'
Û
x
Î
8
A
t
'
Î
3. II prawo de Morgana:
Przyjmujemy T, X, jak w poprzednim przykładzie. Wtedy
'
8
A
t
)'
=
1
A
t
t
Î
T
t
Î
T
Dowód przeprowadzamy jak poprzednio:
8
8
8
x
Î
(
A
t
)'
Û
x
Î
X
\
A
t
Û
x
Î
X
Ù
x
Ï
A
t
Û
x
Î
X
Ù
x
Ï
A
t
"
t
Î
T
Û
t
Î
T
t
Î
T
Î
T
Û
x
Î
X
Ù
x
Î
A
t
'
"
t
Î
T
Û
x
Î
1
A
t
'
Î
T
Jacek Podlewski
x
t
t
T
t
t
T
(
t
t
[ Pobierz całość w formacie PDF ]