Algebra 0-09 wielomiany

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład9
Wielomiany
-
f
(
x
).
Je±likrotno±¢pierwiastkajestwi¦kszaod1tomówimy,»epierwiastek
jestwielokrotny.
Pochodn¡wielomianu
f
(
x
)=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
···
+
a
1
x
+
a
0
2
K
[
x
]
nazywamywielomian:
f
0
(
x
)=
na
n
x
n
−
1
+(
n
−
1)
a
n
−
1
x
n
−
2
+
···
+
a
1
,
gdzie
na
=
a
+
·
·
·
+
a
| {z }
n
.
Własno±cipochodnej
1.(
f
(
x
)+
g
(
x
))
0
=
f
0
(
x
)+
g
0
(
x
),
2.(
f
(
x
)
g
(
x
))
0
=
f
0
(
x
)
g
(
x
)+
f
(
x
)
g
0
(
x
),
3.Je±list
f
(
x
)=0to
f
0
(
x
)=0.
Twierdzenie1
Elementajestpierwiastkiemwielokrotnymwielomianuf
(
x
)
wtedyitylkowtedygdyf
0
(
a
)=0
if
(
a
)=0
.
Dowód
(
)
)Je±li
a
jestpierwiastkiemwielokrotnymwielomianu
f
(
x
)toistnieje
t>
1,»e(
x
−
a
)
t
|
f
(
x
).Zatem
f
(
x
)=(
x
−
a
)
t
g
(
x
)inapodstawiewłasno±ci2.
pochodnejmamy:
f
0
(
x
)=
t
(
x
−
a
)
t
−
1
g
(
x
)+(
x
−
a
)
t
g
0
(
x
)
,
awi¦c
a
jestrównie»pierwiastkiemwielomianu
f
0
(
x
).
(
(
)Je±li
a
jestpierwiastkiemwielomianów
f
(
x
)i
f
0
(
x
)tomamy:
f
(
x
)=
(
x
−
a
)
g
(
x
),st¡d
f
0
(
x
)=
g
(
x
)+(
x
−
a
)
g
0
(
x
)iponiewa»
a
jestpierwiastkiem
wielomianu
f
0
(
x
)tomusiby¢pierwiastkiemwielomianu
g
(
x
).Zatem
g
(
x
)=
(
x
−
a
)
h
(
x
)i
f
(
x
)=(
x
−
a
)
2
h
(
x
).
niemapierwiastkówwielokrotnych.
Rozwi¡zanie
Mo»naudowodni¢,»e
w
0
n
(
x
)=
w
n
−
1
(
x
).Wtedymamy:
w
n
(
x
)=
w
0
n
(
x
)+
x
n
2!
+
···
+
x
n
−
1
(
n
−
1)!
+
x
n
n
!
.Udowodni¢,»e
w
n
(
x
)
n
!
,
Zatemje±li
a
jestpierwiastkiemwielokrotnymto
w
n
(
a
)=
w
0
n
(
a
)=0i
a
n
Zatem
a
=0,ale0niejestpierwiastkiemwielomianu
w
n
(
x
).
n
!
=0.
1
Element
a
2
K
nazywamy
t
-krotnympierwiastkiemwielomianu
f
(
x
)je±li
(
x
−
a
)
t
|
f
(
x
)i(
x
−
a
)
t
+1
Zadanie
Niech
w
n
(
x
)=1+
x
1!
+
x
2
 Twierdzenie2
Wielomianstopnianposiadamaksymalnienpierwiastków.
Je±liwielomian
f
(
x
)stopnia
n
madokładnie
n
pierwiastków
x
1
,x
2
,...,x
n
toistnieje
c
2
K
i
g
(
x
)
2
K
[
x
],»e:
f
(
x
)=
c
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
···
(
x
−
x
n
)
.
Mówimy,»ewielomian
f
(
x
)rozkładasi¦nailoczynczynnikówliniowychje±li:
f
(
x
)=
c
(
x
−
x
1
)
k
1
(
x
−
x
2
)
k
2
···
(
x
−
x
s
)
k
s
.
Twierdzenie3(ZasadniczeTwierdzenieAlgebry)
Ka»dywielomianf
owspółczynnikachzespolonychposiadapierwiastek.
Wniosek1
Ka»dywielomianowspółczynnikachzespolonychrozkładasi¦na
iloczynczynnikówliniowych.
Twierdzenie4
Niechf
(
x
)
b¦dziewielomianemowspółczynnikachrzeczywi-
stychiniechliczbazespolonazb¦dziepierwiastkiemtegowielomianu.Wtedy
liczba
¯
zjestrównie»pierwiastkiemwielomianuf
(
x
)
.
Dowód
Niech
f
(
x
)=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
···
+
a
1
x
+
a
0
b¦dziewielomianem
owspółczynnikachrzeczywistychiniech
z
b¦dziepierwiastkiemtegowielo-
mianu.Wtedymamy
f
(
z
)=
a
n
z
n
+
a
n
−
1
z
n
−
1
+
···
+
a
1
z
+
a
0
=0.Poniewa»
liczby
a
i
s¡rzeczywisteto
a
i
=
a
i
imamy:
f
(¯
z
)=
a
n
¯
z
n
+
···
+
a
1
¯
z
+
a
0
=
a
n
z
n
+
···
+
a
1
z
+
a
0
=
f
(
z
)=0
,
zatem¯
z
te»jestpierwiastkiemwielomianu
f
(
x
).
Wniosek2
Ka»dywielomianowspółczynnikachrzeczywistychrozkładasi¦
nailoczynczynnikówliniowychikwadratowych.
Zadanie
Rozło»y¢wielomian
x
3
+1nadciałemliczbrzeczywistychinad
ciałemliczbzespolonych.
Rozwi¡zanie
Liczba
−
1jestpierwiastkiemwielomianu
x
3
+1,zatemdwu-
mian
x
+1dzieli
x
3
+1.Mamywi¦c
x
3
+1=(
x
+1)(
x
2
−
x
+1).Wielomian
x
2
−
x
+1jestnierozkładalnynadRboniemapierwiastkówrzeczywistych.
Rozłó»mygonadC.Obliczamypierwiastkiwielomianu
x
2
−
x
+1:
=
1
−
4
=
−
3
,
=
i
p
3
2
p
2
.Zatemrozkładwielomianujestnast¦puj¡cy:
-nadR:
x
3
+1=(
x
+1)(
x
2
−
x
+
1
),
-nadC:
x
3
+1=(
x
+1)(
x
−
1+
i
p
3
2
).
Zadanie
Rozło»y¢wielomian
x
4
+
x
3
+2
x
2
+
x
+1nadRiCje±liwiadomo,
»e
i
jestjegopierwiastkiem.
Rozwi¡zanie
Poniewa»
i
jestpierwiastkiemtegowielomianutorównie»
¯
i
=
−
i
jestjegopierwiastkiem.Zatemwielomianjestpodzielnyprzez(
x
−
i
)(
x
+
i
)=
x
2
+1.Popodzieleniuotrzymujemy:
x
4
+
x
3
+2
x
2
+
x
+1=(
x
2
+
1)(
x
2
+
x
+1).Dalejpost¦pujemyjakwzadaniupoprzednim.
Wzorynarozwi¡zywanierówna«wielomianowych
ZasadniczeTwierdzenieAlgebryorzeka,»eka»dywielomianowspółczyn-
nikachzespolonychmapierwiastekzespolony.Pojawiasi¦tupytanie,czy
istniejejaki±uniwersalnysposóbnawyznaczaniepierwiastkówdowolnego
równaniawielomianowego?Okazujesi¦,»etakiegosposobuniema.Rozwa-
»amyrównanie
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
...
+
a
1
x
+
a
0
=0,gdzieka»dywspół-
czynniktegorównaniajestliczb¡zespolon¡.Wiadomo,»eistniej¡wzoryna
rozwi¡zywanierówna«stopnia2
,
3
,
4(wzórnarozwi¡zywanierówna«kwa-
dratowychzostałju»podanywcze±niej,awzorydlarówna«stopnia3i4s¡
dosy¢skomplikowaneib¦d¡przedstawionenawykładziezalgebrywy»szej
nasemestrzetrzecim).Dlarówna«stopniawi¦kszegoni»4takichwzorów
niema.Toznaczyniemo»napoda¢ogólnegowzoruprzypomocy,którego
mo»narozwi¡za¢dowolnerównaniestopnianp.5(dowódtegofaktupodał
genialnymatematykfrancuskiEvaristeGalois).
Je±liwielomianmawspółczynnikicałkowitetoistniejełatwekryterium
dosprawdzania,czyliczbawymierna
p
q
jestpierwiastkiemtegowielomianu:
2
)(
x
−
1
−
i
p
3
Twierdzenie5
Je±liliczbawymierna
p
g
jestpierwiastkiemwielomianuf
(
x
)=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
...
+
a
1
x
+
a
0
,któregowspółczynnikia
i
s¡całkowiteto
p
|
a
0
,aq
|
a
n
.
Przykład
Sprawdzi¢,czywielomian
f
(
x
)=
x
5
−
x
4
−
x
3
+
x
2
−
12ma
pierwiastkiwymierne.
Rozwi¡zanie
Zgodniezpowy»szymTwierdzeniemwymiernymipierwiast-
kamitegowielomianumog¡by¢tylkoliczbycałkowite,któredziel¡liczb¦
−
12,awi¦cliczby
±
1
,
±
2
,
±
3
,
±
4
,
±
6
,
±
12.Powstawieniutychliczbza
x
mo»emystwierdzi¢,»e2jestpierwiastkiemtegowielomianu.
Nast¦pneTwierdzeniedajekryteriumrozkładalno±ciwielomianówowspół-
czynnikachwymiernych:
Twierdzenie6
(KryteriumEisensteina)
Niechwielomian
f
(
x
)=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
...
+
a
1
x
+
a
0
3
2
,x
2
=
1
−
i
p
3
imamy
x
1
=
1+
i
p
3
 mawspółczynnikicałkowite.Je±liistniejeliczbapierwszaptaka,»ep
-
a
n
,
p
|
a
n
−
1
,p
|
a
n
−
2
,...,p
|
a
1
,p
|
a
0
ip
2
-
a
0
towielomianf
(
x
)
jestnierozkładlny
nadciałemliczbwymiernych.
Przykład
Zgodniezpowy»szymTwierdzeniemwielomian
x
3
+49
x
2
−
7
x
+14
jestnierozkładalnynaciałemliczbwymiernych(wystarczyprzyj¡¢
p
=7).
Wiemynatomist,»ewielomiantenjestrozkładalnynadciałemliczbrzeczy-
wistychizespolonych.
Powy»szeTwierdzenieniepozwalanamwproststwierdzi¢,czywielomian
x
5
−
2
x
3
+3
x
−
1jestnierozkładalnyboniemo»nadlaniegoznale¹¢odpo-
wiedniejliczbypierwszej
p
.
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]