Algebra 0-03 struktury ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład3
Strukturyalgebraiczne
III.Strukturyalgebraiczne
Struktur¡algebraiczn¡nazywamyzbiórwrazzpewnymidziałaniamiw
tymzbiorze.Struktur¦algebraiczn¡zapisujemywymieniaj¡czbiórorazdzia-
łanianp.(N
,
+
,
·
)jeststruktur¡algebraiczn¡zło»on¡zNidwóchdziała«
dodawaniaimno»enia.Działa«wstrukturzealgebraicznejmo»eby¢sko«-
czenielubniesko«czeniewiele.
Wdalszymci¡gudziałanie
b¦dziedziałaniembinarnym.
Dowoln¡struktur¦(
G,
)nazywamy
grupoidem
.
Grupoid(
G,
)nazywamy
półgrup¡
je±lidziałanie
jestł¡czne.
Półgrup¦(
G,
)nazywamy
grup¡
je±li
maelementneutralnyika»dy
elementjestodwracalny.
Inaczejmówi¡c(
G,
)jestgrup¡je±li:
(1)
8
a,b,c
2
Ga
(
b
c
)=(
a
b
)
c
,
(2)Istnieje
e
2
G
,»e
8
a
2
Ae
a
=
a
e
=
a
,
(3)
8
a
2
G
9
a
0
2
Gaa
0
=
a
0
a
=
e
.
je±lidodatkowo
(4)
8
a,b
2
Ga
b
=
b
a
togrup¦nazywamy
przemienn¡
lub
abelow¡
.
Przykłady
(N
,
+)jestpółgrup¡iniejestgrup¡,
(Z
,
+)jestgrup¡abelow¡,
(R
\{
0
}
,
·
)jestgrup¡abelow¡,
(
S
n
,
)jestgrup¡ije±li
n>
2tojesttogrupanieabelowa.
Zbiór
A
=
{
e,a,b,c
}
zdziałaniem
okre±lonymwtabelce:
eabc
eeabc
aaecb
bbcea
ccbae
jestgrup¡abelow¡.Ka»dyelementjestodwrotnysamdosiebie.
Twierdzenie1
Ka»dyelementgrupyposiadadokładniejedenelementod-
wrotny.
Dowód
Zdefinicjigrupywynika,»eka»dyelementposiadaelementodwrot-
ny.Przypu±¢my,»epewienelement
a
posiadadwaelementyodwrotne
a
0
i
a
00
.
1
Wtedy,je±li
e
oznaczaelementneutralny,mamy:
a
a
0
=
a
0
a
=
e
a
a
00
=
a
00
a
=
e
Korzystaj¡czpowy»szychrówno±ciizł¡czno±cidziałania,otrzymujemy:
a
0
=
a
0
e
=
a
0
(
a
a
00
)
(1)
=(
a
0
a
)
a
00
=
e
a
00
=
a
00
.
Cooznacza,»eelementodwrotnyjestdokładniejeden.
Elementodwrotnydo
a
oznaczamyprzez
a
−
1
.
Twierdzenie2
Je±li
(
G,
)
jestgrup¡to:
(i)
8
a
2
G
(
a
−
1
)
−
1
=
a,
(ii)
8
a,b
2
G
(
a
b
)
−
1
=
b
−
1
a
−
1
.
Dowód
(i)Poniewa»
a
a
−
1
=
a
−
1
a
=
e
toelement
a
jestodwrotnydo
a
−
1
i
poniewa»elementodwrotnyjestwyznaczonyjednoznacznieto(
a
−
1
)
−
1
=
a
.
(ii)Wystarczysprawdzi¢,»eelement
b
−
1
a
−
1
jestodwrotnydo
a
b
.
Zadanie
Wyznaczy¢elementyodwrotnedoelementówgrupy(
S
3
,
).
Twierdzenie3
Je±li
(
G,
)
jestgrup¡to:
(i)
a
x
=
b
x
)
a
=
b,
(ii)
x
a
=
x
b
)
a
=
b.
Dowód
(i)Je±li
a
x
=
b
x
tomno»¡ctorównanieobustronniezprawejstrony
przez
x
−
1
otrzymujemy:
(
a
x
)
x
−
1
=(
b
x
)
x
−
1
a
(
x
x
−
1
)=
b
(
x
x
−
1
)
a
e
=
b
e
a
=
b
(ii)Analogiczniejakpoprzednipunkt.
Twierdzenie4
Je±li
(
G,
)
jestgrup¡ia,b
2
Gtorównaniea
x
=
bma
dokładniejednorozwi¡zaniewzbiorzeG.
2
Dowód
Nietrudnojestzauwa»y¢,»eelement
a
−
1
b
jestrozwi¡zaniemrów-
naniai»ejesttojedynerozwi¡zanietegorównania.
Je±ligrupajestabelowatodziałaniebinarnecz¦stozapisujemyprzypomocy
znaku+,elementodwrotnydo
a
nazywamyprzeciwnymizapisujemygow
postaci
−
a
,aelementneutralnyoznaczamyprzez0.
Systemalgebraiczny(
R,
,
)nazywamy
pier±cieniem
je±li
,
s¡
działaniamibinarnymioraz:
(1)(
R,
)jestgrup¡abelow¡,
(2)(
R,
)jestpółgrup¡,
(3)działanie
jestrozdzielnewzgl¦dem
.
Dodatkowoje±li:
(4)działanie
jestprzemiennetopier±cie«nazywamy
pier±cieniemprze-
miennym
,aje±limno»enie
posiadaelementneutralnytopier±cie«nazy-
wamy
pier±cieniemzjedynk¡
(elementneutralnydziałania
b¦dziemy
zwyklenazywa¢jedynk¡pier±cieniaioznacza¢gob¦dziemyzwykleprzez1).
Przykładamipier±cieniprzemiennychzjedynk¡s¡(Z
,
+
,
·
),(R
,
+
,
·
).Pó¹-
niejpoznamyrównie»przykładypier±cieninieprzemiennych.
Poniewa»struktura(
R,
)jestgrup¡abelow¡toistniejeelementneu-
tralnydziałania
ika»dyelementjestodwracalnywzgl¦demtegodziałania.
Elementneutralnyoznacza¢b¦dziemyprzez0,aelementodwrotnydo
x
nazywa¢b¦dziemyelementemprzeciwnymioznacza¢gob¦dziemyprzez
−
x
.
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]